湖北省鄂东南省级示范高中2023届高三上学期期中联考数学试卷

2022年秋季鄂东南省级示范高中期中联考

高三数学试卷

考试时间：2022年11月1日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．命题“xZ,|x|N”的否定为（ ）

A．xZ,|x|N B．xZ,|x|N C．xZ,|x|N D．xZ,|x|N 2．己知集合Ax∣ylog0.5(4x3),Bx∣3x28x40，则A B（ ）

A．3223,2 B．,2 C．,1 D．,1

33443．下列函数中周期为，且为偶函数的是（ ）

πxysin4xA．ycos|x| B．ytan C．y|cosx| D．

224．已知△ABC的外接圆圆心为O，且ABAC2OA0,|量BA上的投影向量为（ ）

AB||AO|，则向量BC在向

11BC D．BC 445．已知函数f(x)的定义域为R，g(x)f(2x)f(2x),h(x)f(2x)f(x)，则

A．BA B．BA C．下述正确的是（ ）

A．g(x)的图象关于点(1,0)对称 B．g(x)的图象关于y轴对称 C．h(x)的图象关于直线x1对称 D．h(x)的图象关于点(1,0)对称 6．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，ABC点且DBCA．22π，D点为AC上一3π,BD3，则a2c的最小值为（ ） 23 B．93 C．63 D．3

e7．已知ae2,b1ln2,cee2，则（ ）

A．cba B．abc C．acb D．cab

3x3,x118．己知函数f(x)3，则函数F(x)f[f(x)]3f(x)的零点个数

2log3(x1),x1是（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．若a,bR，则使“ab1”成立的一个必要不充分条件是（ ） A．ln(ab)1 B|a||b|1 C．3a3b1 D．eab1

10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A到达最高点时开始计时，设水车转动t（分钟）时水斗A距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为f(t)（米），下列选项正确的是（ ）

A．f(t)6cos4πt4(t0) B．f(t)6sinπtπ4(t0) 21 2C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的

D．在旋转一周的过程中，水斗A距离水面高度不低于7米的时间为10秒 11．设等比数列

an的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a11，

a2022a20231，a20221a202310，则下列选项正确的是（ ）

A．0q1 BS20221S2023 C．T2022是数列

Tn中的最大项 D．T40431

2x1，令x1,xn1fxn，则下列正确的选项为（ ） x1212．己知函数f(x)2n1,nN* A．数列xn的通项公式为xnn121

B．x1x2xn21n 36为等差数列

C．若数列

an1 2ea1a2a3a4a5a66，则

fa1fa2D．x1x2x3fa612

xn1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．已知π,,均为锐角，则(1tan)(1tan)___________． 414．已知向量a,b不共线，且向量ab与a(21)b的方向相反，则实数的值为___________． 15．若项数为n的数列

aian1i(i1,2,3n)我们称其为n项的“对称数列”．例an满足：

如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列

，其中c1,c2,c3,,ck是公差为2的等差数列，cn为2k1(k2)项的“对称数列”

数列

cn的最大项等于

8．记数列

cn的前2k1项和为S2k1，若S2k132，则

1x恒成立，则a的取值范围为3k___________．

16．若不等式sinxln(x1)ex1xax2___________．

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本题满分10分）已知等差数列

an和等比数列bn满足a12,b24,an2log2bn，

nN*．

（1）求数列（2）设数列

an，bn的通项公式：

an中不在数列bn中的项按从小到大的顺序构成数列cn，记数列cn的前

n项和为Sn，求S50．

18．（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足

acosC3asinCb2c．

（1）求角A；

（2）己知AB2，AC6，M点为BC的中点，N点在线段AC上且|AN|P为AM与BN的交点，求MPN的余弦值．

19．（本题满分12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，

1|AC|，点3ABACAA13,ABAC,A1ABA1AC，

D是棱B1C1的中点．

（1）证明：BC平面A1AD； （2）若三棱锥B1A1BD的体积为982，求平面A1BD与平面CBB1C1的夹角．

20．（本题满分12分）在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．

（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．己知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是

1．问小明在做某道单项选择题时，在该道题222，选择两个选项的概率为，选55做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率． （2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为

择三个选项的概率为．己知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为

15

X，求X的分布列及数学期望． 21．（本题满分12分）设点P为圆C:xQ，动点M满足2MQ2y24上的动点，过点P作x轴垂线，垂足为点

3PQ（点P、Q不重合）

（1）求动点M的轨迹方程E；

（2）若过点T(4,0)的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为1,，直线NA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，试判断k1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

22．（本题满分12分）己知函数f(x)asin(1x)lnx,aR． （1）讨论函数f(x)在x(0,1)上的单调性． （2）证明：sin32111sinsin222234sin1111ln2．

(1n)22n1n

高三数学参

一、单选题

1-4 ADCA 5-8 CBDB

二、多选题

9．BCD 10．AD 11．ACD 12．ACD

三、填空题

13．2 14．1 15．k4或k5 16．a1 2四、解答题

17．解析：（1）设等差数列由a1则dan的公差为d，等比数列bn的公比为q，

2,b24,an2log2bn，可得b12,a24，

2,q2,an2n,bn2n,nN*； 5分

2n22n1a2n1

n1（2）由（1）bn即bn是数列设数列因为b7an中的第2项．

an的前n项和为Pn，数列bn的前n项和为Qn，

a,b6a32

所以数列

cn的前50项是由数列an的前56项去掉数列bn的前6项后构成的，

6(2112)56212所以S50P56Q621218．解析：（1）

3066． 10分

acosC3asinCb2c

sinAcosC3sinAsinCsinB2sinCsin(AC)2sinC

sinAcosC3sinAsinCsinB2sinCsinAcosCcosAsinC2sinC

化简得：2sinCcosAsinC3sinAsinC 3分

ππ2cosA3sinA2sinA，求得sinA1

66Aπππ即A． 5分 623

（2）

M点为BC的中点AM1(ABAC)

21|AC|,BNANAB 31BNACAB 7分

3|AN|21121111AMBNABACACABABABACAC2

223236|AM|2AM214(ABAC)213|AM|13 |BN|2BN2213ACAB4|BN|2 10分

cosAM,BNAMBN213|AM||BN|13213．即MPN的余弦值为1313． 12分 19．解析：（1）证明：（1）取BC中点O，连接AO，AO1，AC1， 因为ABAC，所以AOBC， 因为A1ABA1AC,ABAC,AA1AA1，所以△A1AB≌△A1AC 所以A1BAC1，所以AO1BC，

因为AOAO1O,AO,AO1平面A1AOD，

所以BC平面A1AOD，即BC平面A1AD．

（2）连接OD，则平面AAO1即为平面AA1DO，

由（1）知BC平面AA1DO，因为BC平面ABC，且BC平面BCC1B1， 2分

6分

故平面AA1DO平面ABC，平面AA1DO平面BCC1B1， 过O作OMA1D于M，则OM平面ABC，过A1作A1HOD于H，则A1H平面

BCC1B1，

因为DO∥BB1∥AA1知DOBC， 在△ABC中：AB所以S△BDB1ACA1A3,BC32，

19DB1DO2 2419VB1A1BDVA1BDB1S△BDB1A1H2

383所以A1H 6分

2方法一（空间向量法）：

设MOD，则DA1H，

3A1H22在Rt△A1HD中cos A1D3222所以DMDOsin323232,OMODcos又A1D，所以，所以点M222与点A1重合以O为原点，分别以OA,OB,OM分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

32323232A2,0,0,B0,2,0,C0,2,0,A10,0,2， 

3232323232B12,2,2,D2,0,2 8分 设面A1BD的法向量为n1x1,y1,z1，则有

n1BA1令x13232323232y1z10,n1BDx1y1z10 222220,y11则z11，所以n1(0,1,1)

设面CBB1C1的法向量为n2x2,y2,z2，则有

n2CB32y20 3232x232y2z20n2CB122令y20,x21则z21

(1,0,1) 10分

n1n2n1n21π，即． 12分 23所以n2设二面角的夹角为， 则有cos∣方法二（几何法）：

过H做HEBD，连接A1E，

A1H面BCC1B1，

A1HDB，则DB面A1HE，

A1EBD，则A1EH即为所求二面角． 8分

在Rt△A1DH中，A1H,A1D32323，则DH 22

在Rt△DOB中，OD3,OB3236,DB 22HEDH OBDB由Rt△DEH与Rt△DOB相似可得：

HE3，则A1EA1H2HE23 10分 21π，即平面A1BD与平面CBB1C1的夹角为． 12分 2311151， 3分 2248cosA1EH20．解析：（1）设事件A为“题回答正确”，事件B为“知道正确答案”，则

P(A)P(B)P(A∣B)P(B)P(A∣B)11P(AB)P(B)P(A∣B)24所以P(B∣A)． 5分

5P(A)P(A)58（2）设事件Ai表示小明选择了i个选项，事件C表示选择的选项是正确的，则

232C321P(X2)PAC2， 1PA2C5C42111P(X5)PA3C3，

5C420P(X0)1P(X2)P(X5)9， 201212C31C329（或者P(X0)PAC．） 231PA2CPA3C5C45C420随机变量X的分布列如下：

X P 0 2 5 911 20220115E(X)25． 12分

220421．解析：（1）设点P为

x0,y0，动点M为(x,y)，则Q点为x0,0

MQx0x,y,PQ0,y0

2MQ3PQ2x0x,y30,y0

求得：x0x3y又2yx2240y04x203y24

即点M的轨迹方程为：

x24y231(y0) 4分 （2）设直线AB方程为：xmy4则

xmy42消x得3m24y224my360 xy2431△(24m)24363m240 m2或m2

设A点

x1,y1，B点x2,y2则y1y224m3m24,y361y23m24 求得：my1y232y1y2 y331y22my1y233my1y9k1k22my2222 13my23my1y23my1y293my1y2

3292my1y23my1y293my1y2932 2my1y291

k1k2的值为定值，定值为1． 12分

22．解析：（1）f(x)acos(1x)11axcos(1x)xx,0x1 0x1cos(1x)0

当a0时

0x1f(x)0此时f(x)在(0,1)内单调递增；

当0a1时．

0x10cos(1x)1,f(x)0

此时f(x)在(0,1)内单调递增；

当a1时令h(x)1axcos(1x),0x1

h(x)a[cos(1x)xsin(1x)]

8分

a1,cos(1x)0,sin(1x)0h(x)0h(x)在(0,1)上为减函数．

又

h(0)10,h(1)1a0

h(x)在(0,1)上存在唯一零点x0，使得h∴当x当xx01ax0cos1x00

0,x0时h(x)0,f(x)0，f(x)递增；

x0,1时h(x)0,f(x)0，f(x)递减． 5分

综上：

当a1时，此时f(x)在(0,1)内单调递增； 当a1时，当x当x0,x0时，h(x)0,f(x)0，f(x)递增；

x0,1时，h(x)0,f(x)0，f(x)递减．

1x01的根． 6分

1(0x1) 7分 x其中x0为方程ax0cos（2）由（1）知当a1时，f(x)sin(1x)lnx在区间(0,1)上单调递增 则f(x)f(1)0，即sin(1x)lnxlnn22n1(1n)2所以sinsin1ln,nN*． 8分 22(1n)n(n2)(1n)111因此sin2sin2sin22342213242sinln2(1n)132435(n1)2 n(n2)n1n1n1ln2ln2lnln2ln

n2nn211111g(x)lnxx,x1g(x)1解法一：令，则

2xx2x2x22x12xx21(x1)2g(x)0 2222x2x2xg(x)在x0上为减函数

x1

11lnxxg(x)g(1)0，即,x(1,)上恒成立．

2x

ln2lnn1n11n1nln2lnln2 n2n2nn1111ln2得证． 12分

2nn1解法二：

111sin2sin2sin22342213242sinln(1n)2132435(n1)2 n(n2)n1n1ln2ln2ln

n2n2lnn1n11110,nN*ln2lnln2ln2得证． 12分 n2n22nn1