平面向量的数量积

课题：平面向量数量积的物理背景及其含义

一、教材分析

本课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》(人教A版）第二章第四节平面向量的数量积的第一课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角又是响亮的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具，因此这节课的主要内容是向量的数量级的定义、性质、运算律及其应用。

二、学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律，对于运算律不一定给全或给对，对于运算律的证明可能会存在一定的困难，教学中教师要注意引导学生分析判断。

三、教学目标

1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义几物理意义；

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积得得性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；

3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系；

4、通过向量线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想，进一步培养学生的抽象概括、推理论证的能力。

四、教学重点和难点

重点是平面向量数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量夹角的关系；平面向量数量积的运算律的探究及应用。

难点是平面向量数量积的定义及运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。

五、教学过程设计

情景1

1、问题 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？ 若一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的 功W等于多少？

设计意图 以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量数量积的概念做铺垫。 师生互动

生：W|F||S|cos （其中是F与S的夹角）

师：功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量确定？

显然功师一个标量，它由力和位移两个量来确定，由于力和位移既有大小有方向，故力和位移都是向量，因此功是由力和位移两个向量来确定的，那么能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？

1

2、明晰数量积的概念 （1）向量数量积的概念

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a和b的数量（或

b，即 ab|a||b|cos 内积），记做：a|a|cos(|b|cos)叫做a在b方向上（b在a方向上）的投影

即

(2)概念说明

①向量数量积的运算结果是数，而非向量；

②夹角是a与b同起点时的夹角，且0；

b”中的“”不可省，也不能用“”代替； ③记号“a④规定：零向量与任一向量的数量积为0.

3、数量积的几何意义

b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积。 数量积a4、应用

b。 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120º，求a解：

1ab|a||b|cos=54cos120º=20（—）=—10

2情景2

1、问题 概念中涉及哪些向量？它们有什么关系？如何确定两个非零向量的数量积的性质及运算律？

设计意图 通过对数量积的概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及运算律。

2、探究数量积的性质

b0 （a与b都是非零向量）（1）aba；

b0，则a与b至少有一为零向量？类比a,bR时，若ab0，则设置情景：若a 2

a0或b0，而且此性质在解决有关线段垂直问题是具有很好的作用。

2b|a||b|；当a与b反向时ab|a||b|，特别地：aa|a| （2）当a与b同向时，a或|a|aa；

b|||a||b|cos||a||b||cos||a||b|。 （3）|a3、探究数量积的运算律

(1)提出问题 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 答：①交换律：abba ；②结合律：(ab)ca(bc) ；③分配律：(ab)cacbc

b)ca(bc) ；③(ab)cacbc 猜想：①abba ；②(a（2）分析猜想

b|a||b|cos|b||a|cosba； ①ab)c与c同向时，a(bc)与a同向，在a与b不共线的情况下是不正确的； ②(a③师生共同完成，利用图形证明，先让学生讨论，在老师与学生共同完成，证明是正确的。 （3）明晰数量积的运算律

bba； ①ab(ab)a(b)； ②(a)b|a||b|cos|a||b|cos(ab)|a||b|cosa(b)； 证：(a)cacbc。 ③(ab)4、应用与提高

例2 ：我们知道，对任意a,bR，恒有(ab)a2abb,(ab)(ab)ab，

22222对于任意向量a,b，是否也有下面类似的结论？

22222bb （2）(ab)(ab)ab （1）(ab)a2a222a2abbba2abb 解：（1）(ab)(ab)(ab)a222bb成立 (ab)a2a22(ab)(ab)aaabbabbab （2）22 (ab)(ab)ab成立

例3：已知|a|6,|b|4,a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)。

3

解：(a2b)(a3b)

aaab6bb22|a||a||b|cos6|b|

6264cos6064272情景3 小结回顾

1、本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、平面向量数量积有哪些应用？ 3、探究数量积的哪些性质及运算律？

设计意图 让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性，技能熟练性”得到更加充分的体现，体会所学知识的引入基础及探究，解决问题时用到的数学思想和思想方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力。

六、板书设计

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、引入 注：①、②、③、④ 四、运算律 …… …… …… 二、概念 三、性质 五、例题讲解 …… …… …… 七、教学反思

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