第３６卷第６期 兰州理工大学学报 Ｖｏｊ．３６ Ｎ０．６ ２０１０年１２月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｄｅｃ．２０１０ 文章编号：１６７３－５Ｉ９６（２Ｏ１Ｏｊ０６—０ｌ２７～Ｏ３ 四元数斜幂等矩阵线性组合的对角化 燕列雅，王 艳 （西安建筑科技大学理学院，陕西西安７１００５５） 摘要：讨论四元数斜幂等阵线性组合的对角化问题，指出可中心对角化的四元数矩阵可表示为斜幂等阵的线性组 合，构造四元数斜幂等阵相似于对角阵的相似变换矩阵． 关键词：四元数；斜幂等阵；线性组合；相似变换 中图分类号：Ｏ２４１．６ 文献标识码：Ａ ＤｉａｇＯｎａｌｉｚａｔｉ０ｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｋｅｗ－ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｃｅｓ ＹＡＮ Ｌｉｅ—ｙａ，ＷＡＮＧ Ｙａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｃｈ．＆Ｔｅｃｈ．，Ｘｉ’ａｎ ７１００５５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｋｅｗ－ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｗａｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｉｔ ｗａｓ ｐｏｉｎｔｅｄ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｗｈｉｃｈ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｉａｇｏｎａｌｉｚｅｄ，ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｅｘ— ｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｋｅｗ—ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ａｎｄ ａ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｗａｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｋｅｗ，．ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｔｏ ｄｉａｇｏ—． ｎａｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ；ｓｋｅｗ—ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｃｅｓ；ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ；ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ 实四元数矩阵理论在刚体力学、量子力学和控 为斜幂等阵． 制理论等学科有着广泛的应用前景［１ ］．关于四元数 引理１ 。 设Ａ∈ ，Ｒ（Ａ）一ｒ，则存在ＰＥ 体上矩阵的相抵、相似、合同等问题有很多理论上的 ＧＬ （Ｋ），ＱＥＧＬ （Ｋ），使 成果［３］，但由于四元数之间繁琐的运算及乘法的非 Ａ＝Ｐｄｉａｇ（Ｉ ，Ｏ）Ｑ 交换性，实际操作还是很困难．文［４，５］研究四元数 矩阵的对角化，并由四元数矩阵的复表示和友向量 １主要结果 给出求相似变换矩阵的方法．文［６］给出四元数厄尔 定理１设ＡＥＭ．（Ｈ），Ｒ（Ａ）一ｒ，若Ａ。：～Ａ， 米特阵和斜厄尔米特阵对的标准型及应用．本文讨 则存在ＰＥＧＬ （１０，使 论四元数斜幂等阵线性组合的对角化问题，指出可 Ａ＝Ｐｄｉａｇ（一Ｊ ，０）Ｐ一 中心对角化的四元数矩阵可表示为斜幂等阵的线性 证明由引理ｌ，存在Ｐ ，ＱＥＧＬ （Ｈ），使 组合，构造四元数斜幂等阵相似于对角阵的相似变 Ａ：Ｐ１ ｄｉａｇ（Ｉ，，Ｏ）Ｑ 换矩阵． 令 文中Ｆ表示域，Ｋ表示体（除环），ＧＬ （Ｋ）表示 ｌ ｌ １ ２一 体Ｋ上的”阶完全线性群， ”表示体Ｋ上ｍ× 。。］，ｓ ∈Ｈｒ￣ｒ Ｓｚｚ∈Ｈ。一）×（Ｉ 矩阵的集合，Ｒ表示实数域，Ｈ表示实四元数体， 则 Ｍ （Ｈ）表示四元数体日上 阶矩阵的集合，Ｒ（Ａ） 表示矩阵Ａ的秩． Ｑ＝＝ １２ Ｓ２２ 定义１设Ａ∈Ｍ （Ｈ），如果Ａ。一一Ａ，则称Ａ 这时 收稿日期：２００９一ｎ—Ｏ２ Ａ＝Ｐ 基金项目：国家自然科学基金（１０９７１】６０） ［ 。］ ： Ｐ ＝Ｐ ［ ］Ｐ 作者简介：燕列雅（１９６３一），女，陕西户县人，副教授 由Ａ。一一Ａ，得 ・ １２８・ （ｊ，＋Ｓｎ）（Ｓｌ】，Ｓ１２）＝＝＝０ 兰州理工大学学报 第３６卷 由于Ｑ可逆，故Ｒ（Ｓ Ｓ ）一ｒ，从而（ｓ Ｓ ）无左 零因子，所以Ｓ １一－－Ｉ，，于是 Ａ＝Ｐ１Ａｃｔ ＝＝Ｏ，易知Ａ 一一Ａ，又由推论ｌ有ｒ一∑ 下面证明必要性．对Ａ 由引理１，有 ，Ｑ ∈ 『Ｌ＿一 Ｏ Ｏ．１ｒ ｓ埘 — Ｊ ＧＬ （Ｈ），使Ａ—ｐ ｄｉａｇ（Ｌｉ，ｏ）Ｑ ，设Ｐ一［Ｇ ，Ｇ ］， Ｐ 三］ 一 Ｑ＝豳 Ｈ：∈Ｈ“ｒ－。 ”． 一 ），雕 ， Ｐｄｉａｇ（一Ｊ ， 其 Ｓ１２一，］∈观 舭 定理２设Ａｉ∈Ｍ ，（Ｈ），Ｒ（Ａ ）一 ＞Ｏ，且Ａ；一 －Ａ （ 一１，２），Ａ—Ａ１＋Ａ２，贝Ｕ当Ａ１Ａ２＝＝＝Ａ２Ａ１＝＝＝Ｏ 时，Ａ ，Ａ。可同时对角化，且存在可逆矩阵Ｐ，使 Ａｌ＋Ａｚ＝Ｐｄｉａｇ（－－Ｉ ，０）Ｐ一，从而ｒ—ｎ＋ｒ２，这 里ｒ—Ｒ（Ａ）． 证明 由定理１，存在Ｐ ∈ＧＬ （Ｈ），使Ａ ：：＝ Ｐ１ ｄｉａｇ（一Ｊ ，，０）Ｐｆ ，由Ａ１Ａ２一Ａ２Ａ１得 ｄｉａｇ（～ ，０）Ｐ Ａ２Ｐ１一Ｐ Ａ２Ｐ１ ｄｉａｇ（一ｊ ，０） 设 ＝Ｉ２ ｃ ∈ｍ ｚ∈ Ｈ １ 一ｒ１’）代人上式有Ａ１２一Ａ２１＝０，又由 Ａ Ａｚ＝。得Ａｎ一。，于是Ｐ？ＩＡ２Ｐ１：：＝［暑 。］，且 Ａ；２一一Ａ２２，从而存在Ｐ２∈ＧＬ （Ｈ），使Ａ２２一 Ｐ２ｄｉａｇ（一Ｌ２，Ｏ）Ｐ７ ，令ｐ＝Ｐ１ｄｉａｇ（１ ，Ｐ２），则 Ａ１一Ｐｄｉａｇ（一Ｌ１，０）Ｐ Ａ２－－Ｐｄｉａｇ（０，一Ｊ ，Ｏ）Ｐ 于是 Ａ１＋Ａ２＝Ｐｄｉａｇ（－－Ｉ ，一Ｉ 。，０）Ｐ１一 Ｐｄｉａｇ（一Ｊｒ， ，Ｏ）Ｐ－－ 即，－一ｒｌ＋ｒ２． （证毕） 推论１如果Ａ ，Ａ。，…，Ａ 均为四元数斜幂等 阵，Ｒ（Ａｆ）＝ｒ ＞０（ 一１，２，…，￡），则当Ａ４ — Ａ ：Ｏ（睁 ， ， ＝ｌ，２，…，ｆ）时，Ａ１，Ａ２，…，Ａ可 同时对角化，且ｒ一∑ 证明 由定理２和归纳法易证． 定理３设Ａ ∈Ｍ， （１－１），Ａ＝＝＝∑Ａ ，Ｒ（Ａ ）＝＝＝ ｌ ＞ｏ， （Ａ）一ｒ，且ｒ一∑ ｔ￣ｊｌＡ。＝一Ａ的充要条 件是Ａ ＝一Ａ ，且Ａ ｊ＝ＡｊＡ 一０， ≠ ， ，Ｊ一１， ２，…，ｔ． 证明 先证明充分性．由Ａ 一一Ａ 且ＡｉＡ，＝＝＝ 则Ａ －＝ＧｉＨＴｉ，其中Ｇ 为右高矩阵，Ｈ 为左高矩 阵 引，于是 Ａ＝∑Ａ ＝∑Ｇ Ｈ 一 （Ｇ ， ．．，Ｇ） 一铘 ｝：ｌＴＪ 其中，Ｇ＝（Ｇ１，Ｇ２，…Ｇ），Ｉ－ＩＴ＝ 显然 Ｒ（Ｇ）≤ｒ，Ｒ（ＨＴ）≤ｒ，又Ｒ（Ａ）一ｒ，且Ｒ（Ａ）一 Ｒ（ＧＨＴ）￣Ｒ（Ｇ），Ｒ（Ａ）一Ｒ（ＧＨＴ）≤Ｒ（ＨＴ），所以 Ｒ（Ｇ）一Ｒ（Ｈ ）一ｒ． 由Ａ 一一Ａ得Ｇ（ＨＺＧ＋Ｉ ）Ｈ 一ｏ，由文［３］，Ｇ 无右零因子， 无左零因子，所以，Ｈ Ｇ＋Ｉ ＝０， 即日 Ｃ一一Ｊ『ｒ，亦即 一 “ （Ｇ ＇Ｇ２，…，… ＧＩ）一 一 一 ＴＧ１…Ｉ－￣７ｃ ＿』 『一Ｊ ］ 一Ｊｒ— ｌ— ．． １ ｌ 一 ｊ 因此，Ｈ 、Ｇｊ＝－－Ｉ ，Ｉ－ＥｆＧｊ＝ｏ，ｉ＝ｌ￣ｊ， ，Ｊ＝１，２，…， ｔ，从而 Ａ ＝Ｇ日ＴＧ Ｈ 一Ｇ （一Ｊ ） ：一Ａｉ ． Ａ４ －￣Ｇｉ－ＨＴＧｊＨ 一０ （证毕） 定义２设Ａ∈Ｍ （Ｋ），如果存在ＰＥＧＬ （Ｋ）， 使Ｐ一 Ａｐ＝ｄｉａｇ（ａ１， ２，…， ， ），其中 】， ２，…， ， ∈ Ｆ，则称Ａ是可中心对角化矩阵． 显然幂等阵，斜幂等阵均为可中心对角化矩阵． 定理４ 设Ａ∈Ｍ （Ｈ），则Ａ是可中心对角化矩 阵的充分且必要条件是存在Ｈ上的￡个非零斜幂等阵 令 第６期 燕列雅等：四元数斜幂等矩阵线性组合的对角化 ＝ ・ １２９・ Ａ１，Ａ２，…，Ａ ，使Ａ一∑ Ａ ，这里 ∈Ｒ，Ｒ（Ａ，）一 】１，Ａ可以对角化，～ｌ是Ａ的ｒ重特征值，０为Ａ的 ，＾ ， ，２一ｒ重特征值． 时 Ａ４ 一０，ｉ≠ ，ｉ， 一１，２，…，ｔ，且∑Ａ 一－－Ｉ 一对应于一ｌ的特征向量为（Ａ＋＿ｆ） 一０的非零 解向量；对应于０的特征向量为Ａｘ一０非零解向 ∈ Ｒ １ 证明 先证充分性．由∑Ａ ＝－－Ｉ 及推论１， 量． ｉ－＿１ 存在Ｐ Ｅ ＧＬ （Ｈ），使 ∑Ａ ＝Ｐｄｉａｇ（一Ｊｒｒ 】，一 ，…，一Ｊ ）．Ｐ－ ＝ Ｉ：１ Ｐ∑ｄｉａｇ（Ｏ，…，Ｏ．一 ，Ｏ，…，Ｏ）Ｐ－ 一 ＝ｌ ∑Ｐｄｉａｇ（Ｏ，…，Ｏ，一Ｉ。，０，…，Ｏ）Ｐ ｌ＝１ ∑ｒ 一 ＝ｌ 故Ａ＝∑ Ａ —Ｐｄｉａｇ（一２１Ｉ ｒ１，一 ２ ，…， ｌ＝１ 一 Ｊ。）Ｐ广 ，即Ａ可中心对角化． 下面证必要性．由定义２，存在ＰＥＧＬ （Ｈ），使 ｐ－ ＡＰ—ｄｉａｇ（ Ｊ ｊｒ２＇…， ：Ｊ ） ＡＰ－－－＝ｄｉａｇ（－－Ａ１１ Ｉ，－－２２１ ，…，一 Ｉ ） 设ｐ－－（Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｔ），Ｐｉ∈Ｈ” ｒｉ，则 Ａ ｄｉａｇ（一 ｌ‘，－－２２ Ｊｒ２，…，一 Ｊ。，） （一 １Ｐｌ，一 ２Ｐ２，…，一 ｆＰｆ）Ｐ广 一 ｔ ∑（ｏ，…，ｏ，一 Ｐ ，０，…，Ｏ）Ｐ－ 一 ｉ一１ ｔ ∑Ｊ＝【４ 一１ 其中Ａ 一（０，…，０，一Ｐ ，ｏ，…，Ｏ）Ｐ～，容易验证 Ａ 一（０，…，Ｏ，一Ｐ ，０，…，ｏ）× （ｏ，…，Ｏ，～Ｐ ，ｏ，…，Ｏ）Ｐ－ ＝ （ｏ，…，ｏ，一Ｐ ，ｏ，…，０）× ｄｉａｇ（Ｏ，…，ｏ，一Ｊ ，ｏ，…，０） 一 广（Ｄ，…，０，一 ，０，…，０）Ｐ广 一－－Ａ ｔ ＡＩ：‘４ 一Ｄ，且∑Ａ 一一ＰＰ一 一一 。 一１ （证毕） ２四元数斜幂等阵的对角化及相似变 换矩阵的构造 设ＡＥＧＬ （Ｈ），且Ａ。一～Ａ，Ｒ（Ａ）一ｒ，由定理 由于Ａ。＝：：一Ａ，故（Ａ＋１）ａ一０或Ａ（Ａ＋Ｉ）一 ０，由Ｒ（Ａ）一ｒ及（Ａ＋Ｉ）Ａ—ｏ知，Ａ的ｒ个线性无 ∑ ｒ 关的列向量（记为Ｐ。）即为Ａ的对应于一１特征向 一 量；而由（Ａ＋Ｉ）Ａ＝Ｏ知，Ａ＋Ｊ的 一ｒ个线性无关 的列向量（记为Ｐｚ）即为Ａ的对应于０的特征向量． 令Ｐ一（Ｐ１，Ｐ２），则有Ａ—Ｐｄｉａｇ（一Ｌ，Ｏ）Ｐ一 ． 对于四元数幂等矩阵的相似变换矩阵可用同样 方法构造． ｚ ， ｝ 例１求四元数斜幂等阵Ａ＝＝： －１ ｋ ｌ相 一 一１ ｌ ｒ２ 取 一目， 一 ，Ｐ—ｃ ， ，，则有 一 一Ｕ 参考文献： ＪＣＫＥＳ Ｂ Ｐ．Ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｅｒｆｏｒｍｉｎｇ ｄｉｇｉｔａｌ ｃｏｎｆｍｌ ｓｙｓ— ｔｅｍ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎｓ［Ｊ］．ＡＩＡＡ Ｊｏｕｒｎａｌ，１９７０， １１：８ １５． 王庆贵．四元数变换及其在空间机构位移分析中的应用［ｊ］． 力学学报，１９８３，１５（１）：５４－６１． 庄瓦金．体上矩阵理论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，２００６． 姜同松，陈丽．四元数体上矩阵的广义对角化［Ｊ３．应用数学 和力学，１９９９，２０（１１）：１２０３－１２１０． 姜同松，魏木生．四元数矩阵的对角化及算法［Ｊ］．工程数学学 报，２００５，２２（１）：１７９—１８２． ＲＯＤＭＡＮ Ｌ．Ｐａｉｒｓ ｏｆ ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ａｎｄ ｓｋｅｗ－ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｑｕａｔｅｒ— ｎｉｏｎｉｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ：Ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｆｏｒｍｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． １ ｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００８，４２９：９８１—１０１９．