２０１２年２月 安庆师范学院学报（自然科学版） Ｆｅｂ．２Ｏ１２ ＶＯＩ．Ｉ８ ＮＯ．１ 第ｌ８卷第１期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｑｉｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） 退化时滞微分系统全时滞稳定的代数判据 黄 郑，蒋威 （安徽大学数学科学学院，安徽合肥２３ｏ６ｏ１） 摘要：本文利用复平面变换及多项式理论给出了退化时滞微分系统全时滞稳定的充要条件。 关键词：退化时滞微分系统；渐近稳定性；代数判据 中图分类号：Ｏ１８６．１６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—４２６ｏ（２ｏｉ２）Ｏｌ－ｏｏｏ９—０５ ０引言 近年来，有关退化时滞微分系统的稳定性研究取得了不少成果，如文献［１］＿［６］。本文通过复平 面变换及多项式理论得出了退化时滞微分系统全时滞稳定的代数判据。 １预备知识 定义１ 对于退化时滞微分系统 Ｅ （￡）＝ ｔ， （ｔ）， （ｔ一．ｒ）） （１） 其中 （ ）∈Ｒ 为状态变量，Ｅ Ｅ Ｒ 为常数矩阵且ｄｅｔ（Ｅ）＝０， ∈Ｒ＋为参数，如果对于Ｖ．ｒ仨Ｒ＋， 系统（１）的零解都是渐近稳定的 则称系统（１）的零解为全时滞稳定的，或者称系统（１）是全时滞稳定 的。全时滞稳定也称为无条件稳定，或绝对稳定。 本文考虑 维退化时滞微分系统 Ｅ （ｔ）＝Ａｘ（￡）＋８ｘ（ｔ一．ｒ） （２） 其中Ｅ，Ａ，Ｂ Ｅ Ｒ 为常数矩阵，，ｌｅｔ（Ｅ）＝０， （ｔ）∈Ｒ ， ∈Ｒ＋为：参数。 首先根据文献［１］知： 引理１ 系统（２）为全时滞稳定的充要条件是特征方程 ＾（Ａ，．ｒ）＝Ｉ Ａ —Ａ— 一 Ｉ 满足条件 （ｉ）ｈ（Ａ，０）＝Ｉ ＡＥ—Ａ—Ｂ Ｉ＝０的零解都具有负实部； （ｉｉ）对任意的Ｙ∈Ｒ一｛０｝，．ｒ Ｅ Ｒ＋成立 （ ，．ｒ）＝ｌ ｉｙＥ—Ａ一曰ｅ一 Ｉ≠０ ２ 主要结果 根据引理１可得： ． 定理ｌ 系统（２）为全时滞稳定的充要条件是特征方程 ｈ（Ａ，ｒ）＝Ｉ ＡＥ—Ａ—Ｂｅ ｌ 满足条件 收稿日期：２０１１—１０—２２ 基金项目：国家自称科学基金（１１０７１００１），安徽省高校重大项目（ＫＪ２０１０Ｚ１）０２），高校博士点专项科研基金（２００９３４０１１１０００１），安 徽大学青年科学研究基金项目（ＫＪＱＮ１００１）资助。 作者简介：黄郑，男，安徽六安人，安徽大学数学科学学院硕士研究生，研究方向：泛函数微分方程； 蒋威，男，安徽五河人，安徽大学数学科学学院教授，博士生、硕士生导师。 ・１０・ 安庆师范学院学报（自然科学版） （ｉ ） （Ａ，０）＝ｌ ＡＥ—Ａ—Ｂ ｌ＝０的零解都具有负实部； （ｉｉ ）对任意的），∈Ｒ一｛０｝，０∈［０，２１ｒ］成立 Ｉ ｌｙｅ—Ａ—Ｂｅ坩Ｉ≠０ 证明 只需要证明（ｉｉ）等价于（ｉｉ ）即可。若（ｉｉ）成立而（ｉｉ ）不成立，则ｊ０∈［０，２仃］使得 Ｉ ｆｙＥ—Ａ—Ｂｅ Ｉ＝０，对Ｙ＞０，取 ＝ 一 ∈Ｒ＋，有ｅ一 ＝ｅ ‘ ＝ｅ ｅ一 ＝ｅｉＯ；对ｙ＜０，取 ＝ 一ｙ ∈Ｒ＋，有ｅ船＝ｅ一，所以总可取到 ∈ ＋使得Ｉ 一Ａ—Ｂｅ一 Ｉ＝Ｉ 一Ａ—Ｂｅ诏ｌ，与（ｉｉ） 相互矛盾，故（ｉｉ ）成立。 若（ｉｉ ）成立，则对Ｖ—ｙ．ｒ∈Ｒ，ｊ ∈ｚ使得一 ＝２ ＋ ，０∈［０，２．７ｒ］，于是ｅ一 ＝ｅ ｅ２ｋ￣ｒｉｅ ＝ｅ 所以有Ｉ ｌｙｅ—Ａ—Ｂｅ一 Ｉ＝Ｉ ｌｙＥ—Ａ—Ｂｅ Ｉ≠０，故（ｉｉ）成立。 ，＝ 作分式线性变换 １＋Ｚ 把复平面上的单位圆｛ ＝ｅ ：０∈［０，２仃］｝一一映成虚轴｛ｚ＝ｉｙ：ｙ∈Ｒ｝，可得 定理２ 系统（２）为全时滞稳定的充要条件是特征方程 ｈ（Ｊ）Ｌ， ）＝Ｉ ＡＥ—Ａ—Ｂｅ一 Ｉ 满足条件： （ｉ） （Ａ，０）＝ｌ ＡＥ—Ａ—Ｂ Ｉ＝０的零解都具有负实部； （ｉｉ）对任意的ｙ Ｅ Ｒ一｛０｝， ∈Ｒ成立； （ｑ１）Ｉ ｉｙＥ—Ａ一 ｌ≠０． （ａ：）记＾（ｚ，，，）＝Ｊ（１ｙｅ—Ａ）（１一 ）一Ｂ（１＋ ）Ｉ，由ｈ（ｚ，，，）＝ ｚ，，，）＋ （名， ）＝０可得 ，（ｚ，），）＝０，ｇ（ｚ，ｙ）＝０，其中，，ｇ是实系数的二元多项式，可以写成 ）＝口。（，，） ＋口－（，，） ‘＋ （，，）＝０ 【ｇ（彳，，，）＝ｂｏ（，，） ＋ｂｌ（ｙ）ｚ 一 ＋…＋６ （，，）＝０ 则定理２的条件（ｉｉ）变成：方程组（３）无实数解ｙ∈Ｒ一｛０｝，＝∈Ｒ。 由高等代数知识 】，方程组（３）有实数解），∈Ｒ一｛０｝， ∈Ｒ的充要条件是其结式 口。（ ） 口 （，，） 口 （ｙ） 口０（ｙ） 口１（ｙ） （３） … … 口 （，，） 口 （，，） Ｒ ，ｇ）＝ （ｙ）口 （ｙ） ｂｏ（，，）ｂ （，，）ｂ２（，，） ６０（ｙ）６。（，，） … ｂｑ（，，） … ｎ （ｙ） ＝… … ｂ。（，，） ０ （４） ｂｏ（ｙ）６１（，，） 设 ｂ。（，，） （５） Ｒ ，ｇ）＝口 （，， ＋ｃ１Ｙ ＋…＋ｃ ），ｃ，≠０，ｒ≥０ 记 Ｇ（）厂）＝Ｙ ＋ｃ１Ｙ 一 ＋…＋ｃ 则得到以下定理。 定理３ 系统（２）为全时滞稳定的充要条件是特征方程 ｈ（Ａ， ）＝ｌ ＡＥ—Ａ—Ｂｅ一 Ｉ 满足条件： 第１期 黄郑，蒋威：退化时滞微分系统全时滞稳定的代数判据 （ｉ） （Ａ，０）＝Ｉ ＡＥ—Ａ—Ｂ Ｉ＝０的零解都具有负实部； （ｉｉ）由（Ｏｔ ），（仅：），（３），（４），（５）式得到的多项式 Ｇ（ｙ）＝ ＋ｃｌｙｓ一 ＋…＋ｃ ＝０ 没有非零实数根。 ３应用举例 下面分别通过二维系统和三维系统说明定理３的应用。 例１ 考虑二维退化时滞微分系统 ‘）＝一 －（ ） Ｉ ：（１）＝ １ （￡一．ｒ） 的全时滞稳定性。 解对照系统ｃ６ 可得Ｅ＝（ ），Ａ＝（＿０ 三）， ＝［三一 ］。 则系统（６）的特征方程为 ．Ｉｌ（Ａ，．ｒ）＝一Ａ＋１Ａｅ—Ａｒ１＋ １ Ａｅ一＾ｒ 一则 （Ａ，ｏ）＝一寻Ａ一下１＝０，可得Ａ＝一１满足条件（ｉ）。又 ． ｙ）＝一 ３一 １州 一 ，）＝ｏ 对应的方程组为 ‘ ｆ一 一号＝０ 【 一 ＝０ 其结式为 ３ １ 一 Ｒ（ｆ，ｇ）＝ ２ ＝ ＋３ １ ÷ — ２ 则Ｇ（，，）＝ｙ２＋１，显然Ｇ（，，）＝０没有实数解，由上可得系统（６）是全时滞稳定的。 例２ 考虑三维退化时滞微分系统 ｌ（ｔ）＝一 ｌ（ｔ）一戈３（ｔ一下） ｏ＝ （ ）一 １：（ｔ— ） ０ ０＝ ３（ｔ）一 １（ｔ一．ｒ） 的全时滞稳定性。 ０ ０ —１ 解 对照系统ｃ７ 可得Ｅ＝（壹 ０ ０）１ ０ Ｉ ，Ｂ＝： ０一｛＿０ ０ １ Ｊ０ ０ 一号 这里ｒａｎｋＥ＝１，则系统（７）的特征方程为 （Ａ， ）＝（Ａ＋１）（一１＋ ｅ ） （６） （７） ・１２・ 安庆师范学院学报（自然科学版） ２０１２伍 则 （Ａ，ｏ）＝÷（Ａ＋１）＝ｏ，可得Ａ＝一ｌ满足条件（ｉ）。又 ＝一 一 ＋ ＋ １州 一 １５ ２一７ ＋ ）＝０ 对应的方程组为 ｆ一 一 ＋ ＋ １＝０ 【 一 一 ＋ ＝０ ９ 一 １５ ４ ７ ｌ ４ Ｏ １ —０ ０ ０ ９ 一 １５ ４ ７ ４ ０ ０ １５ 一 ９ 一１５ ４ ７ １ ８１ ６ ２４３ ４ ２４３ ２ ８１ 一 一 一— 一 ＿ｙ ７ ４ Ｒ ，ｇ）＝ ９ １ ４， ０ １ ０ ｕ ，、 ４ ４ ４ ｕ ，、 ９ 一 １５ ７ ４ ０ ０ ９ —１５ —７ １ ４ 则Ｇ（ｙ）：ｙ６＋３ｙ４＋３ｙ２＋１，显然Ｇ（），）＝０没有实数解，由上可得系统（７）是全时滞稳定的。 例３ 考虑三维退化时滞微分系统 Ｉ； 。： － ｘ２（…ｔ－７＂； （ ＼ （８） ●●●●●●／ 的全时滞稳定性。 解 对照系统ｃ８ 可得 ＝畦 ＝ ・ —这里ｒａｎｋＥ＝２，则系统（８）的特征方程为 （Ａ， ）＝（Ａ＋ （一１＋争 ） 则＾（ ，ｏ）＝一号（Ａ＋１） ＝０，可得Ａ＝一１满足条件（ｉ）。又 （ ，ｙ）＝３ ＋（一 ７ ２＋ ７ ２５ ＋ 一 ＋ ［（ 一号） ３＋７ ＋（一 ＋ ５） —ｙ］ 对应的方程组为 ｆ３ ＋（一 ７ ２＋ ７， ２一 ＋ 一 ＝０ Ｉ（ 一 ３， ３＋７ｙｚ２＋（一 ５ ２＋ ５） 一，，＝０ 其结式为 第１期 黄郑，蒋威：退化时滞微分系统全时滞稳定的代数判据 ・ｌ３・ 一 ＋吾 ： ０ Ｏ １ ２ ＿ｙ ０ 一Ｒ ，ｇ）＝ ３—２ ５ｙ ：ｙ Ｏ ０ ０ Ｏ 一 ０ ０ ３—２ 一ｙ Ｏ ３—２ ０ ｒ芝、 ：ｙ ０ ３ ２３ ７一 一 ｙ 一 ＋３—２ 寻一ｙ 一４８ｙ挖一２８８ｙｍ一７２０ｙｓ一９６０ｙ 一７２０ｙ４—２８８ｙ２—４８＝０ 则Ｇ（ ）＝Ｙ ＋６ｙｍ＋１５ｙｓ＋２（一 一 矿＋１５ｒ＇＋６，，２＋１，显然Ｃ（ｙ）＝０没有实数解，由上可得系统（８）是 全时滞稳定的。７—２ ５—２ 参考文献： ７—２ ５—２ ［１］蒋威．退化、时滞微分系统［Ｍ］．合肥：安徽大学出版社，１９９８：１１５—１５３． ［２］ｓ．Ｄ．Ｂｒｉｅｒｌｅｙ，Ｊ．Ｎ．Ｃｈｉａｓｓｏｎ，Ｅ．Ｂ．Ｌｅｅ，ａａｄ Ｓ．Ｈ．Ｚａｋ．Ｏｎ ｓｔａｂｉｌｉｔｙｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆｄｅｌａｙｆｏｒｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ【Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｍＡｕｔ。Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８２， ２７（１）：２５２—２５４．一 一［３］ＦｅＩｌｇ Ｙｉｆｕ，Ｚｈｕ ｒ Ｘｕｎｌｉｎ ａ一 ＋ｎｄ ｚｌＩａｎｇ Ｑｉｎｇｌｉａｇ．Ｄｅｌａｙ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｃｉｒｔｅｒｉａ ｆｏｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｔｉｍｅ ｄｅｈｙ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ￥ｉｎｉｃａ， ２０１０，３６（３）：４３３—４３７．７— ２ ５—一 ．Ｉ．２ ［４］Ｘｉｅ Ｃｏｎｇｙｕａｎ ｎａｄ Ｚｈａｎｇ Ｑｉｎｇｌｉｎｇ．Ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｓｌｒｕｃｔｕｒａｌ ｓｔａｂｉｌｉｙｔ ｆｏｒ ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｓａｎ Ｆｒｎａｃｉｓｃｏ Ｃａｉｌｆｏｎｒｉａ，ＵＳＡ，１９９３，３１１７— ３１２０． ［５］ＬｉＸｉａｏｙａｎ ａｎｄ ＪｉｎａｇＷｅｉ．Ｏｎ ｓｔａｂｉｌｉｔｙｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅｆｏｒ ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈ ｄｅｌａｙ［Ｊ］．Ｊ．ｏｆＭａｔｈ．（ＰＲＣ）２００４，２４（５）：５０９ —５ｌ２． ［６］Ｚｌｉａｎｇ Ｚｕｏｙｕａｎ．Ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｉｒｔｅｒｉｏｎ ｏｆｒ ｓｔａｂｉｌｉｙｔ ｆｏ ｅｑｕａｔｉｏｎ五１（ｔ）：Ａｘ（１）＋Ｂｘ（ｔ一，－）ｗｉｔｈ ｄｅｌａｙ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｂｕｌｌｅｔｉｎ，１９８６，２４： １７６８—１７７１． ［７］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８７：１４６—１５１． Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｆｏｒ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ Ｄｉｆｅｒｍｔｉａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｄｅｌａｙ ＨＵＡＮＧ Ｚｈｅｎｇ，ＪＩＡＮＧ Ｗｅｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ，Ａｎｈｕｉ ２３０６０１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａ￣：ｈ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａｌｌ ｄｅｌａｙｓ ｏｆ ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｄｅｌａｙ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕ 。ｃｏｍｐｌｅｘ ｐｌａｎｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｔｌＩｅ０ｒｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｄｅｌａｙ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｉｌｙｔ；ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ
