2020年济南市初三数学上期中一模试题及答案

一、选择题

1．﹣3的绝对值是（ ） A．﹣3

B．3

C．-

1 3D．

1 32．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．随时打开电视机，正在播新闻 B．优秀射击运动员射击一次，命中靶心 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上

D．长度分别是3cm，5cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形

3．若x1是方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则M与N的大小关系为( ) A．M＞N

B．M＝N

C．M＜N

D．不能确定

4．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）

A．4.75 B．4.8 C．5 D．4以取的是（ ） A．3 （ ） A．

B．5

5．如果关于x的方程x24xm0有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m可

C．6

D．8

6．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是

3 10B．

2

9 25C．

4 25D．

1 107．抛物线y＝2(x－3)＋4的顶点坐标是( ) A．(3，4) （ ） A．1

B．1或4

C．4

D．0

9．如图，是两条互相垂直的街道，且A到B,C的距离都是7 km,现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4km/h，则两人之间的距离为5km时，是甲出发后（ ）

B．(－3，4)

C．(3，－4)

D．(2，4)

8．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣5m+4=0有一个根为0，则m的值等于

A．1h B．0.75h C．1.2h或0.75h D．1h或0.75h

10．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A．

4 9B．

1 3C．

2 9D．

1 911．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

12．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（ ） A．

1 3B．

1 4C．

1 5D．

1 6二、填空题

13．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若

11＝﹣1，则k的值为_____． x1x214．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是_____．

15．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=_______度．

16．已知x1是关于x的方程ax22x30的一个根，则a__________． 17．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .

18．在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分

A,B,C,D四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同

一个组的概率是_______．

19．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .

20．如图所示过原点的抛物线是二次函数yax3axa1的图象，那么a的值是_____．

22

三、解答题

21．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．

AD=AB·AE； （1）求证：AC·

（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长． 22．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.

购买件数 不超过30件 超过30件 销售价格 单价40元 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元

23．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交⊙O于点D． （I）如图①，若BC是⊙O的直径，BC＝4，求BD的长； （Ⅱ）如图②，若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：DE＝DB．

24．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．

（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠P=

3，AD=6，求线段AE的长． 425．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．

（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案. 【详解】

根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】

本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

2．D

解析：D 【解析】

分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 详解：A．是随机事件，故A不符合题意； B．是随机事件，故B不符合题意； C．是随机事件，故C不符合题意； D．是必然事件，故D符合题意． 故选D．

点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得． 【详解】

∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根， ∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c， 则M-N=（ax1+1）2-（2-ac） =a2x12+2ax1+1-2+ac =a（ax12+2x1）+ac-1 =-ac+ac-1 =-1， ∵-1＜0， ∴M-N＜0，

∴M＜N． 故选C． 【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8． 【详解】

如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB． ∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ， ∴FC+FD＞CD，

∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值， ∴CD=BC•AC÷AB=4.8．

故选B． 【点睛】

本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．

5．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断． 【详解】

根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8． 故选A． 【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】

画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）

共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6， ∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝故选：A． 【点睛】

本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．

63＝． 20107．A

解析：A 【解析】

2根据ya(xh)k 的顶点坐标为(h,k) ，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是

（3，4）.故选A.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

先把x＝0代入方程求出m的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值． 【详解】

解：把x＝0代入方程得m²−5m＋4＝0，解得m₁＝4，m₂＝1， 而a−1≠0， 所以m＝4．

故选C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

据题画出图形如图，设走了x小时，则BF=AG=4x，AF=7－4x，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案. 【详解】

解：如图，设走了x小时，根据题意可知：BF=AG=4x，则AF=7－4x，根据勾股定理，得

74x4x25，即4x27x30.解得：x11，x2223. 4

故选D. 【点睛】

本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】 画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果， ∴两次都摸到黄球的概率为故选A． 【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．

4， 911．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】

解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

12．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

解：用1，2，3三个数字组成一个三位数的所有组合是：123，132，213，231，312，321，

是偶数只有2个，

所以组成的三位数是偶数的概率是故选A．

1 ； 3二、填空题

13．【解析】【分析】利用根与系数的关系结合＝﹣1可得出关于k的方程解之可得出k的值由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k的不等式解之即可得出k的取值范围进而可确定k的值此题得解【详解】∵关于x的一

解析：【解析】 【分析】

利用根与系数的关系结合

11＝﹣1可得出关于k的方程，解之可得出k的值，由方程x1x2的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解． 【详解】

∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣（2k+3），x1x2＝k2，

x1x2112k3∴＝＝﹣＝﹣1， x1x2x1x2k2解得：k1＝﹣1，k2＝3．

∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（2k+3）2﹣4k2＞0，

3， 4∴k1＝﹣1舍去． ∴k=3.

故答案为：3． 【点睛】

解得：k＞﹣

本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.

14．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°△MCC1为得出∠CMC1=60°等边三角形从而证出CC1=CM

解析：5 【解析】 【分析】

连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=

1AC=5，再根据∠2A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案． 【详解】

解：如图，连接CC1，

∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M， ∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1， ∴CM=A1M=C1M=

1AC=5， 2∴∠A1=∠A1CM=30°， ∴∠CMC1=60°， ∴△CMC1为等边三角形， ∴CC1=CM=5， ∴CC1长为5． 故答案为5．

考点：等边三角形的判定与性质．

15．【解析】试题分析：解：连接OD∵CD是⊙O切线∴OD⊥CD∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD∴AB⊥OD∴∠AOD=90°∵OA=OD∴∠A=∠ADO=45°∴∠C=∠A=45°故答案为45考

解析：【解析】

试题分析：解：连接OD．∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．

考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质．

16．-1【解析】试题解析：把代入得解得：故答案为

解析：-1 【解析】

试题解析：把x1代入ax22x30，

得，a230. 解得：a1. 故答案为1.

17．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单 解析：y5(x1)21

【解析】 【分析】

先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可． 【详解】

抛物线y5x1的顶点坐标为（0，0）， ∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度， ∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2）， ∴所得抛物线的解析式是y5x11． 故答案为：y5x11． 【点睛】

本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．

22218．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概 解析：

1 4【解析】 【分析】

根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 【详解】 如下图所示，

小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，

∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是故答案为：【点睛】

41， 1641． 4本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答

19．【解析】试题解析：连接OEAE∵点C为OA的中点

∴∠CEO=30°∠EOC=60°∴△AEO为等边三角形∴S扇形AOE=∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）===

解析：3. 212【解析】

试题解析：连接OE、AE，

∵点C为OA的中点， ∴∠CEO=30°，∠EOC=60°， ∴△AEO为等边三角形，

60222 ∴S扇形AOE=，3603∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）

9022901221= （13）36036032==

3423 323． 12220．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴

解析：-1 【解析】

∵抛物线yax3axa1过原点， ∴a210，解得a1， 又∵抛物线开口向下， ∴a1.

22三、解答题

21．（1）证明见解析；（2）AC=4. 【解析】 【分析】

（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE∽△ABC，由相似比即可得；

（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4； 【详解】

（1）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴

AD=AB·AE ，即AC·

（2）连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD 2=4. ∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×

考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.

22．王老师购买该奖品的件数为40件． 【解析】

试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．

试题解析：∵30×40=1200＜1400， ∴奖品数超过了30件，

设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得： x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400， 解得：x1=40，x2=70，

∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30， ∴x=70不合题意舍去，

答：王老师购买该奖品的件数为40件． 考点：一元二次方程的应用． 23．（I）BD＝22；（II）见解析. 【解析】

【分析】

（I）连接OD，易证△DOB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的长； （II）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD＝∠DEB，由此即可证出BD＝DE． 【详解】

解：（I）连接OD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°，

∵∠BAC的平分线交⊙O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠BOD＝90°， ∵BC＝4， ∴BO＝OD＝2， ∴BD222222；

（II）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE． ∵∠BAD＝∠CBD，

∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE． 又∵∠DEB＝BAE+∠ABE， ∴∠EBD＝∠DEB， ∴BD＝DE． 【点睛】

本题考查了三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键． 24．（1）PC是⊙O的切线；（2）【解析】

试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．

9 2OCOPr10r15，即，解得r=，由BE∥PD，AE=AB•sin

4ADAP610∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．

试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：

（2）由OC∥AD，推出

连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线． （2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=径为r．∵OC∥AD，∴

3，∴PD=8，AP=10，设半4OCOPr10r15，即，解得r=．∵AB是直径，∴∠

4ADAP6101539×=． 252AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=

点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25．（1）w10x2700x10000（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600． 【解析】 【分析】

（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；

（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本． 【详解】

解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y =（x﹣20）•（﹣10x+500） =10x2700x10000，

即w10x2700x10000（20≤x≤32）；

（2）对于函数w10x700x10000的图象的对称轴是直线x=2700=35．

2(10)又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下． ∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大， ∴当x=32时，W=2160

答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． （3）取W=2000得，10x2700x100002000 解这个方程得：x1=30，x2=40． ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，

∴当30≤x≤40时，w≥2000． ∵20≤x≤32，

∴当30≤x≤32时，w≥2000．

设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000 ∵k=﹣200＜0， ∴P随x的增大而减小，

∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．

答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元． 考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．