2020北京延庆初三(上)期中数学含答案

数 学

1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间100分钟． 考生须知 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 抛物线y(x3)1的对称轴是

A．直线x3

B．直线x3

C．直线x1

D．直线x1

22.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和学号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 2.如果2x3y(y0)，那么下列比例式成立的是

A．

x3 2y

B．

xy 23 C．

xy 32 D．

x2 y33.函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，则该函数的最小值是

A．1

B．0

C．1

D．2

4.如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的面积之比为

A．

1 2 B．

1 3C．

1 4D．

1 9 1 / 13

5.把抛物线y(x2)24向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为

A．y(x4)23

B．yx23

C．y(x4)25

D．yx25

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为

CADB

C．

A．

3 2 B．

9 233 2 D．33

7.已知二次函数yax2bxc的图象如右图所示，则下列结论中错误的是 ．．

y1Ox1

B．abc0

C．c0

D．b24ac0

A．a0

8.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线yax24ax上的点，下列命题正确的是

A．若y1＝y2，则x1＝x2

C．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＞y2

B．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＜y2 D．若|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则y1＝y2

二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分）

9.请写出一个开口向上，且经过点（0，－1）的二次函数的表达式：_______．（只需写出一个符合题意的函数表达式即可）

10. 如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，请你再添加一个条件_____，使得△ABD∽△ACB．

11. 将二次函数yx22x3化成ya(xh)k的形式：_______． 12.根据右面的两个三角形中所给的条件计算，那么y的值是_______．

2 2 / 13

13.抛物线yx2bx1与x轴只有一个交点，那么b_______．

14.如图，小吴为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是1米和10米．已知小吴的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为_______米．

15. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－3，0），对称轴为x＝－1，当y0时，则x的取值范围是_______．

16. 如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数yax2(a0)的图象上，若正方形OABC的边长为2，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则a的值为__________．

3 / 13

三、解答题（共68分）

17．（4分）如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO=∠C．

求证：△AOB∽△DOC．

18．（6分）已知：二次函数yx－1

（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）画出它的图象．

19．（5分）已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）．

（1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x轴的交点坐标．

20.（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．

AEC2FBD

请写出一对相似三角形，并证明． ．．．．

4 / 13

21.（6分）在二次函数yax2bxc(a0)中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x y … … 0 3 1 0 2 -1 3 0 4 m … … （1）求这个二次函数的表达式及m的值； （2）利用所给的网格，建立平面直角坐标系，画出该函数图象；（不用列表）；

（3）观察函数图象，当0x4时，求y的取值范围．

22.（6分）已知：二次函数yx2bxc的图象如图所示，

解决下列问题：

（1）关于x的一元二次方程x2bxc0的解为_________； （2）求此抛物线的表达式；

（3）若直线yk与抛物线没有交点，直接写出k的范围．

5 / 13

23.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB=∠EBC．

（1）求证：△ABE∽△BEC； （2）若BE=2，求ABCE的值．

24.（5分）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE=CF，AB=4．

（1）设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式； （2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．

25.（6分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数y探究过程如下：

（1）写出自变量x的取值范围； （2）画函数图象

列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ；

2的图象与性质，xx … ﹣3 2 3﹣2 ﹣1 -1 24

1 24

1 2 3 2 3…

y … 1 2 2 m …

描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；

6 / 13

（3）通过观察图象，写出该函数的两条性质； ①______________________； ②______________________．

26.（5分）要修一个喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线型水．．．．柱与池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应该多长？

示意图

27.（7分）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，—3）且平行于x轴的直线，与直线yx-6交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：yx2bxc经过点A，B．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；

（3）若抛物线C2:yax2(a0)与线段AB恰有一个公共点．结合函数的图象，求a的取值范围．

7 / 13

28.（7分）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，过点D作DE的垂线与直线AC交于点F，连结EF．求证：AF=BE．

探究过程：经过分析小明发现，△ADF≌△BED，然后根据全三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可以得到AF=BE．

请你根据小明的探究过程解决以下问题：

（1）探索发现：如图2，若点E为边AB延长线上一点，其他条件不变，AF与BE还相等吗？请说明理由． （2）类比迁移：如图3，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，以DE为一边作∠EDF=60°，交直线AC于点F

，且AE=2AF．请你依据题意补全图形，若AB=4，求AF的长．

8 / 13

2020北京延庆初三（上）期中数学

参考答案

一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）

A C

A

D

B

A

B

D

二、填空题（共8个小题，每空2分，共16分）

9．yx2110．∠ABD=∠C11．y(x1)2212.313．214．1615．1x或x-316．3 三、解答题

17．∵AC，BD相交于的点O

∴∠AOB=∠DOC……………2分 又∵∠ABO=∠C

∴△AOB∽△DOC．………………4分

18．（1）开口向上；对称轴y轴（x=0）；顶点坐标（0，-1）……3分

（2）图略………6分

19．（1）解：设二次函数表达式为ya(x1)4

∵图象经过（-2，5） ∴5=9a4

∴a1………………3分

（2）此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）……5分 20．△BEC∽△ADC．………………………1分

证明如下：

9 / 13

2∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC

∴∠ADC=90°…………………2分 又∵BE⊥AC

∴∠BEC=90°…………………3分 ∴∠ADC=∠BEC=90°…………………4分 又∵∠C=∠C

∴△BEC∽△ADC…………………5分

21．（1）yx4x3；m3…………………3分

（2）略………………5分

（3）1y3…………………1分 22．（1）x13，x21…………………2分

（2）yx2x3………………5分 （3）k＞4……………6分

23．（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD……………1分 ∴∠CEB=∠ABE……………2分 又∵∠EAB=∠EBC

∴△ABE∽△BEC…………………3分 （2） ∵△ABE∽△BEC

22∴

ABEB……………5分 EBEC∵BE=2

∴ABCE=4……………6分

10 / 13

24．（1）y12x4x……………3分 2（2）当x4时，△AEF的面积最大，△AEF的面积=8……………5分 25．（1）x0……………………………………1分

（2）m1；……………………………………2分 画图略……………………………………4分

（3） 图象位于第一、二象限；x＞0时，y随x的增大而减小………2分 26．由题意分析，可建立适当的坐标系构建二次函数模型进行解决

设抛物线解析式为ya(xh)k……………5分

由题意，顶点坐标为（1，3），且经过（3，0）点……………3分 ∴ya(x1)3

220a(31)23

3a……………4分

4∴y3(x1)23 49

……………5分 4

9m． 4当x0时，y

∴水柱落地处离池中心3m时，水管长为

27．（1）A（3，-3），B（-1，-3）…………2分

（2）抛物线C1的表达式yx2x6；顶点坐标（1，-7）…………5分 （3）yax2(a0)经过A点时a21，经过B点时a3 3a的取值范围为3＜a…………7分

1328.（1）AF与BE相等………1分

11 / 13

证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠CBA=45°，∴∠CBE=135°； ∵点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，AD=DB ∴∠ADB=90°， ∵DE⊥DF， ∴∠FDE=90° ∴∠ADF=∠EDB 又∵∠CBE=∠DAF=135° ∴在△DAF和△DEB中

DAFDBEADDB ADFBDE∴△DAF≌△DEB………3分 ∴AF=BE

（2）分两种情况讨论

1）如图1：证明△CFD∽△BDE

图1

则CFBDCDEB

∴4AFCD

BD42AF12 / 13

∵D是BC的中点 ∴CD=BD=2 ∴AF26AF60

此时，AF33……………………5分 2）如图2：∵等边三角形ABC，D为BC中点，

图2

∴DA⊥BC，CD=BD=2 ∠B=∠C=60°

∠FAD=150°，∠FDE=60° ∴∠F+∠ADF=30°， ∠BDE+∠ADF=30° ∴∠F=∠BDE 又∵∠B=∠C=60° ∴△CFD∽△BDE

CFCD

BDEB4AFCD

BD42AF解得：AF71…………………………………7分 综上所述：AF长为33或7-1

13 / 13