湖南省洞口一中2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷

2015年下学期高二年级期末数学（文）试题

命题人：尹春龙

注意事项：

1．答题前在答卷上填涂好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写（涂）在答卷上指定位置

一、选择题（每题5分，共60分） 1．下列能用流程图表示的是（ ） A．某校学生会组织 B．“海尔”集团的管理关系 C．春种分为三个工序：平整土地，打畦，插秧 D．某商场货物的分布

i(i是虚数单位)的实部是（ ） 1+2i2211A． B． C． D．

55552．复数

3．下表是某厂1—4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份x 用水量y 1 2 3 3 4 2．5 4．5 4 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为y＝－0．7x＋a，则a等于( )

A．10．5 B．5．15 C．5．2 D．5．25 4．抛物线yx在点M(,)处的切线的倾斜角是 ( )

A.30 B.45 C.60 D.90

15．已知椭圆的一个焦点为F(0，1)，离心率e，则该椭圆的标准方程为

221124x2y2x2y2x2y2221 B．1 C．y1 D．x1 A．3443226．已知命题p:xR,25，则p为( ) A、xR,25 B、xR,25 C、x0R,2x0xxx5 D、x0R,2x05

227．已知命题p：x0R,mx010，命题q：xR,xmx10.若pq为假命

题，则实数m的取值范围为（ ）

A．2m2 B．m2或m2 C．m2 D．m2

8．设a,b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则\"la,且lb\"是

\"l\"的（ ）

Ａ．充要条件 Ｂ．充分不必要条件

Ｃ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

1

xy2，9．已知实数x，y满足xy2，则z2x3y的最大值是( )

0x1， A.6 B.1 C.4 D.6

10．若a、b、cR，且ab，则下列不等式一定成立的是 （ ）

c2A．acbc B. acbc C．0 D．(ab)c20

ab11．设函数yf(x)的图像如下图，则导函数yf'(x)的图像可能是（）

x2y212．对于曲线C∶=1，给出下面四个命题： 4kk1（1）曲线C不可能表示椭圆；

（2）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜5；

2（3）若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；

（4）当1＜k＜4时曲线C表示椭圆，其中正确的是 （ ） A .(2)(3) B. (1)(3) C. (2)(4) D.(3)(4)

二、填空题（每题5分，共20分）

SS113．设Sn是等差数列an的前n项和,且3，则9 ．

S12S6314．等比数列｛an}中，a1+a3=5，a2+a4=4，则a4+a6=________． 15．已知正实数x,y满足(x1)(y1)16，则xy的最小值为 ．

16．已知2223344aa2,33,44,,66，若a,t均为33881515tt 2

正实数，则由以上等式，可推测at .

三、解答题

17．(本小题满分10分)已知p:x32；q:(xm1)(xm1)0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的范围．

xb18．(本小题满分12分)已知关于x的方程=1,其中a,b为实数.

ax(1)若x=1-3i是该方程的根,求a,b的值.

b1(2)当＞且a＞0时,证明该方程没有实数根.

a4

19．(本小题满分12分)已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)． (1) 若f(1)0，求函数yf(x)在[－

3，1]上的极大值和极小值； 2(2)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．

20．(本小题满分12分)已知抛物线y2px(p0)上一动点P,抛物线内一点A(3,2),F为焦点且|PA||PF|的最小值为

27。 21求抛物线方程以及使得|PA|+|PF|最小时的P点坐标;

3

2过(1)中的P点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于C、D两点,直线CD是否过一定

点? 若是,求出该定点坐标; 若不是,请说明理由。

21．(本小题满分12分)已知f(x)xbxc为偶函数，曲线yf(x)过点(2,5)，

2g(x)(xa)f(x)．

（Ⅰ）求实数b、c的值；

（Ⅱ）若曲线yg(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若当x1时函数yg(x)取得极值，确定yg(x)的单调区间和极值．

22．(本小题满分12分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且

4Snan2an3．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知bn2n,求Tna1b1a2b2anbn的值．

2 4

参考答案

1．C

【解析】流程图是表示生产过程中事物各个环节进行顺序的简图，用于表示某种过程，选项中A，B，C说明的都是某种事物的构成，而不是表示过程，所以选C。 2．B 【解析】因为

ii(12i)21222i，所以其实部为，选B. 1+2i1+2555考点： 复数的概念，复数的四则运算.

3．D

【解析】试题分析：因为回归直线方程过样本中心点，而此题的样本中心点为

12344.5432.5,即2.5,3.5，将样本中心点代入回归直线方程443.50.72.5a得a5.25

考点：回归分析的基本思想及应用

4．B．

【解析】试题分析：已知抛物线yx，对其进行求导，即y2x，当x即切线的斜率为k1，从而问题解决．

考点：导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程． 5．A

2'1'时，y1，2

y2x2【解析】试题分析：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，标准方程为221(ab0)，

aby2x2c1222且c1,e，a2,bac3，即椭圆的标准方程为1.

43a2考点：椭圆的标准方程.

6．D

【解析】试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，以及否命题的特征，可知选D 考点：全称命题的否定. 7．D

【解析】试题分析：p：m0，q：q402q2，若pq，则p，q均为假命题，∴m2.

考点：简单的逻辑联结词. 8．C

【解析】试题分析：\"la,且lb\"，若直线a,b是两条相交直线，则可以推出\"l\"；所以是必要不充分条件.

考点：逻辑关系、线面位置关系. 9．D

2 5

xy2，【解析】画出实数x，y满足xy2，的可行域，z2x3y的最大值在点（0，-2）

0x1，处取到，最大值是6. 10．D

【解析】试题分析：因为cR，故ac与bc关系不定，故若c0，则acbc，

c20，故B、C错，因为ab0,c20,(ab)c20。 ab考点：不等式的基本性质。 11．D

【解析】试题分析：由yf(x)图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于零，再小于零，最后大于0.故选D. 考点：导数与函数的单调性. 12．A

4k＞055【解析】试题分析：①若曲线C表示椭圆，则k1＞0，即k∈（1，）∪（，4）

224kk1时，曲线C表示椭圆，故（1）错误；

4k＞0k1＞05②若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得1＜k＜，故（2）正确；

24kk14k＞k1③若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，解得k＞4或k＜1，故（3）正确；

④由（1）可知，（4）错误. 考点：圆锥曲线的特征． 13．

3 5S31,S6S32S3.又，所以S63S3 S63【解析】试题分析：因为

S3,S6S3,S9S6,S12S9成等差数列,所以S9S63S3,S12S94S3.即

S96S3,S1210S3,考点：等差数列性质 14．

S963. S1210564 25【解析】试题分析：因为，等比数列｛an}中，a1+a3=5，a2+a4=4，

6

所以，a1(1q2)5,a2(1q2)4，两式两边分别相除，得，qa4+a6= a1(q3q5)=

4125，所以，a1， 54164。 25考点：等比数列的通项公式

点评：简单题，首先确定等比数列的基本元素a1,q。 15．8

【解析】试题分析：因为(x1)(y1)160,y0，所以x10,x1.方法一：xy(x1)(y1)≥2(x1)(y1)8，；方法二（消元）：

xyx161x116≥8x1x1，

考点：不等式在求解最值上的应用．

16．41

【解析】试题分析：结合前面的式子知：a6,t61，所以at41

考点：归纳推理 点评：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 17．2m4

【解析】试题分析：通过解绝对值不等式化简命题p，求出非p；通过解二次不等式化简命题q，求出非q；通过非p是非q的充分而不必要条件得到两个条件端点值的大小关系，求出m的范围解：由题意p：-2≤x-3≤2，∴1≤x≤5．∴非p：x＜1或x＞5． q：m-1≤x≤m+1，∴非q：x＜m-1或x＞m+1．又∵非p是非q的充分而不必要条件，m-1≥1 m+1≤5 ，∴2≤m≤4 考点：绝对值不等式的解法

点评：本题考查绝对值不等式的解法、二次不等式的解法、将条件问题转化为端点值的关系问题 18．（1）ab2 （2）根据题意，由于原方程化为x2axab0假设原方程有实数解,那么△=(a)24ab≥0,即a2≥4ab于已知矛盾，进而得到证明。 【解析】

试题分析：(1)将x13i代入

2xb1b331,化简得()(b)i1 axa44a1b1a4∴ ∴ab2. 3b30a4 7

(2)证明:原方程化为x2axab0

假设原方程有实数解,那么△=(a)24ab≥0,即a2≥4ab

b1b1∵a＞0,∴≤,这与题设＞矛盾.

a4a4∴原方程无实数根.

考点：反证法的运用，以及复数相等的运用。 点评：解决的关键是利用复数相等来建立等式关系，同时能利用方程中判别式来确定有无实数根，属于基础题。

115019．（1）f(x)在x1取得极大值为f(1)2；f(x)在x取得极小值为f()

3327（2）

(，3][3，)

【解析】

试题分析：解：(1)∵f(1)0，∴32a10，即a2．

2∴f(x)3x4x13(x)(x1)． 2分

131由f(x)0，得x1或x；

31由f(x)0，得1x． 4分

3311因此，函数f(x)的单调增区间为(，1)，(，1)；单调减区间为(1，)．

233f(x)在x1取得极大值为f(1)2；f(x)在x150． 7分 f()3271取得极小值为3(2) ∵f(x)x3ax2xa，∴f(x)3x22ax1．

∵函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，∴f(x)0有实数解． 9分 ∴D4a24310，∴a23，即 a3或a3．

因此，所求实数a的取值范围是(，3][3，)． 12分 考点：导数的运用

点评：主要是考查了导数在研究函数中的单调性的运用，属于中档题。 20．1 (2,2).2 过定点(4,2)。 【解析】

试题分析：(1)过A,P分别做准线的垂线,设垂足为A0,H,则|PF|=|PH|,由图象可知,当|PA|+|PF|取最小值即是A点到准线的距离32p,此时P点为AA0与抛物线的交点.故p1,2此时抛物线方程为y2x,, P点坐标为(2,2).

8

22y12y2 (2)设,A(,y1)B(,y2),直线AB:yy22(xy2)即y22y1y222y22 xy2y1y2y1y2即y4yy21 x12, 由PA⊥PB有

(y22)(y12)y1y2y1y2244yy2x2, x12中，有yy1y2y1y2y1y2y1y2得y1y2442(y1y2)代入到y即y222(x4),故直线AB过定点(4,2)。 [x(22)]即y2y1y2y1y2考点：抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与抛物线的综合应用。

点评：抛物线的定义在考试中经常考到，我们要熟练掌握。此题的第一问解答的关键是：利用抛物线的定义把“|PA||PF|的最小值”抓化为“点A到准线的距离。” 21．

（Ⅰ）f(x)xbxc为偶函数,故f(x)f(x)即有

2(x)2b(x)cx2bxc 解得b0

又曲线yf(x)过点(2,5),得2c5,有c1

（Ⅱ）g(x)(xa)f(x)xaxxa从而g(x)3x2ax1,曲线

32'22yg(x)有斜率为0的切线，故有g'(x)0有实数解.即3x22ax10有实数解.此时

有

4a120解得 a,33,

2所以实数a的取值范围:a,33,

（Ⅲ）因x1时函数yg(x)取得极值,故有g(1)0即32a10,解得a2 又g(x)3x4x1(3x1)(x1) 令g(x)0,得x11,x2当x(,1)时, g(x)0,故g(x)在(,1)上为增函数 当x(1,)时, g(x)0,故g(x)在(1,)上为减函数

''2''1 313'13131函数yg(x)的极大值点为-1，极小值点为.

3'当x(,)时, g(x)0,故g(x)在(,)上为增函数

13

9

22． （1）an2n1．（2）T1n(2n1)2n2。 【解析】 试题分析：（1）令n = 1，解出a1 = 3, （a1 = 0舍）， 由4Sn = an2 + 2an－3 ①

及当n2时 4sn－1 = a2n1 + 2an-1－3 ② ①－②得到a22nan12(anan1)0，

确定得到{an}是以3为首项，2为公差的等差数列. （2）利用“错位相减法”求和. 试题解析： （1）当n = 1时，a11s14a21312a14,解出a1 = 3, （a1 = 0舍）又4Sn = an2 + 2an－3 ①

当n2时 4sn－1 = a2n1 + 2an-1－3 ②

①－② 4a2nana2a22n12(anan1), 即nan12(anan1)0，

∴ (anan1)(anan12)0, anan10anan12（n2）

， 数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列， an32(n1)2n1．

（2）Tn321522(2n1)2n ③ 又2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1 ④ ④－③ Tn3212(22232n)(2n1)2n1

6822n1(2n1)2n1 (2n1)2n12

考点：等差数列及其求和，等比数列的求和，“错位相减法”.

10