四川省成都市高一数学下学期6月月考试卷(含解析)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x|x≥0}，N={x|x2＜1}，则M∩N=（ ） A．[0，1] B．[0，1） C．（0，1] D．（0，1） 2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx

D．y=x+1

2

3．已知θ是直线2x+2y﹣1=0的倾斜角，则sinθ的值是（ ） A．

B．

C．1

D．﹣1

4．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（ ） A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜0 5．对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x+y=2的位置关系是（ ） A．相离 B．相切

C．相交 D．随k的变化而变化

6．已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（ ） A．

B．

C．

D．

2

2

7．一个体积为12的正棱柱的三视图，如图所示，则该三棱柱的高为（ ）

A．3 B． C． D．4

8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（ ）

1

A．180 B．200 C．128 D．162

9．已知f（x）=loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M，且点M在直线0，n＞0）上，则m+n的最小值为（ ） A．

B．8

C．

D．4

（m＞

10．已知等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（ ） A．n（2n﹣1） B．（n+1）2 C．n2

D．（n﹣1）2

11．已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且tanx0=2，则点（a，b）所在的直线为（ ）

A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0

12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）

=，若当x∈[﹣4，﹣2）时，不等式f（x）≥﹣t+恒成立，

则实数t的取值范围是（ ）

A．[2，3] B．[1，3] C．[1，4] D．[2，4]

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是3cm，则此球的表面积为 cm2． 14．已知

，

2

，则tanα等于 ．

2

15．已知直线l：x﹣y+2=0与圆C：（x+2）（y﹣1）+=4相交于A，B两点，则等于 ．

16．已知函数f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7= ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求满足下列条件的直线l′的方程． （1）l′与l平行且过点（﹣1，3）；

（2）l′与l垂直且在两坐标轴上的截距相等． 18．设函数

．

2

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求

2

的值．

19．围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）． （Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若

c，求角A；

共线，c=2，且△ABC的面积为

，求a的值． ，

（Ⅱ）若向量与向量

21．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an﹣2n（n∈N*）． （1）求证：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），Tn为数列22．已知圆O：x+y=r（r＞0）与直线x﹣y+2（1）求圆O的方程； （2）过点（1，

）的直线l截圆所得弦长为2

，求直线l的方程；

2

2

2

的前n项和，求证：Tn≥．

=0相切．

（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1k2=﹣2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．

3

4

2016-2017学年四川省成都市双流中学高一（下）6月月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x|x≥0}，N={x|x2＜1}，则M∩N=（ ） A．[0，1] B．[0，1） C．（0，1] D．（0，1） 【考点】1E：交集及其运算．

【分析】求解一元二次不等式化简N，再由交集运算得答案． 【解答】解：∵M={x|x≥0}，N={x|x＜1}={x|﹣1＜x＜1}， ∴M∩N={x|x≥0}∩{x|﹣1＜x＜1}=[0，1）． 故选：B．

2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx

D．y=x2+1

2

【考点】51：函数的零点；3K：函数奇偶性的判断．

【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．

【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点； 对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；

对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点； 对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点； 故选A．

3．已知θ是直线2x+2y﹣1=0的倾斜角，则sinθ的值是（ ） A．

B．

C．1

D．﹣1

【考点】I2：直线的倾斜角．

【分析】由题意可得：tanθ=﹣=﹣1，θ∈[0，π），解得θ，即可得出．

5

【解答】解：tanθ=﹣=﹣1，θ∈[0，π）， ∴∴sin

． =

．

故选：B．

4．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（ ） A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜0 【考点】2K：命题的真假判断与应用．

【分析】根据不等式的基本性质，实数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：∵c＜b＜a且ac＜0， 故c＜0，a＞0， ∴ab＞ac一定成立， 又∵b﹣a＜0，

∴c（b﹣a）＞0一定成立， b2与a2的大小无法确定， 故cb＜ca不一定成立， ∵a﹣c＞0，

∴ac（a﹣c）＜0一定成立， 故选：C

5．对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x+y=2的位置关系是（ ） A．相离 B．相切

C．相交 D．随k的变化而变化 【考点】J9：直线与圆的位置关系．

【分析】对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x+y=2内，故可得结论．

【解答】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在 ∵（0，1）在圆x2+y2=2内

∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心．

6

2

2

2

2

2

2

故选：C．

6．已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围，求出适合的角．

【解答】解：∵向量a、b满足设与的夹角为θ， 则cosθ=∵θ∈【0π】， ∴θ=

，

=，

，且

，

故选C．

7．一个体积为12

的正棱柱的三视图，如图所示，则该三棱柱的高为（ ）

A．3 B． C． D．4

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由已知三视图得到正三棱柱的底面高为2是12

，得到关于高的等式解之．

的等边三角形，

的等边三角形，设棱柱高为x，由体积

【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是正三棱柱的底面高为2

7

所以底面边长为=4，

，所以

，解得h=3；

设棱柱高为x，由体积是12故选A．

8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（ ） A．180 B．200 C．128 D．162 【考点】81：数列的概念及简单表示法．

【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n．即可得出．

【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…， 可得偶数项的通项公式：a2n=2n． 则此数列第20项=2×102=200． 故选：B．

9．已知f（x）=loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M，且点M在直线0，n＞0）上，则m+n的最小值为（ ） A．

B．8

C．

D．4

（m＞

2

2

【考点】3R：函数恒成立问题．

【分析】由已知可得f（x）=loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M（2，1），进而利用基本不等式，可得m+n的最小值．

【解答】解：当x=2时，loga（x﹣1）+1=1恒成立，

故f（x）=loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M（2，1）， ∵点M在直线故

，

（m＞0，n＞0）上，

8

故m+n=m+n（m+n）（即m+n的最小值为3+2故选：A．

）=2+1+（，

）≥3+2=3+2，

10．已知等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（ ） A．n（2n﹣1） B．（n+1）2 C．n2 【考点】8G：等比数列的性质．

【分析】先根据a5•a2n﹣5=2，求得数列{an}的通项公式，再利用对数的性质求得答案． 【解答】解：∵a5•a2n﹣5=2=an，an＞0， ∴an=2，

∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log22故选：C．

11．已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且tanx0=2，则点（a，b）所在的直线为（ ）

A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0 【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．

【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，求出函数的对称轴即可得到结论． 【解答】解：f（x）=asinx+bcosx=

（

sinx+

cosx），

1+3+…+（2n﹣1）

n

2n

22n

D．（n﹣1）2

=log2=n．

2

令sinα=，则cosα=，即tanα=，

则f（x）=cos（x﹣α），

由x﹣α=kπ，得x=α+kπ，k∈Z， 即函数的对称轴为x=α+kπ，k∈Z， ∵x=x0是函数f（x）的一条对称轴，

∴x0=α+kπ，则tanx0=tanα==2，即a=2b，

9

即a﹣2b=0，

则点（a，b）所在的直线为x﹣2y=0， 故选：A

12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）

=，若当x∈[﹣4，﹣2）时，不等式f（x）≥﹣t+恒成立，

则实数t的取值范围是（ ）

A．[2，3] B．[1，3] C．[1，4] D．[2，4] 【考点】3R：函数恒成立问题．

【分析】根据条件，求出函数f（x）在x∈[﹣4，﹣2）上的最小值，把不等式f（x）≥﹣t+恒成立转化为f（x）的最小值大于等于次不等式得答案．

【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]；

﹣t+恒成立，然后求解关于t的一元二

当x∈[1，2）时，f（x）=﹣∈[﹣1，﹣]，

∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1， 又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）， ∴当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣， 当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣， 若x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）≥∴﹣≥

2

﹣t+恒成立，

﹣t+恒成立．

即t﹣4t+3≤0，解得1≤t≤3， ∴t∈[1，3]， 故选：B．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

10

13．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是3cm，则此球的表面积为 27π cm． 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】先求出此球的半径R=

，由此能求出此球的表面积．

2

【解答】解：∵一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是3cm， ∴此球的半径R=

，

=27π．

∴此球的表面积S=4πR2=4故答案为：27π． 14．已知

，

，则tanα等于 ．

【考点】GR：两角和与差的正切函数．

【分析】由题意利用两角差的正切公式，求得tanα的值． 【解答】解：∵已知

，

，则tanα=tan[（α﹣β）

+β]= = =，

故答案为：．

15．已知直线l：x﹣y+2=0与圆C：（x+2）+（y﹣1）=4相交于A，B两点，则7 ．

【考点】9R：平面向量数量积的运算；J9：直线与圆的位置关系．

【分析】求出圆的圆心与半径，圆心到直线的距离，半弦长，然后求解∠BAC，利用向量的数量积求解即可．

【解答】解：圆C：（x+2）+（y﹣1）=4的圆心（﹣2，1），半径为2， 圆心到直线的距离为：半弦长为：

=

，

=

，

2

2

2

2

等于

cos∠BAC==．

11

则=×2×=7．

故答案为：7．

16．已知函数f（x）=（x﹣3）+x﹣1，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7= 21 ． 【考点】8F：等差数列的性质．

【分析】由题意可得[（a1﹣3）3+a1﹣3]+[（a2﹣3）3+a2﹣3]+…+[（a7﹣3）3+a7﹣3]=0，再利用等差数列的性质求得a4=3，从而求得a1+a2+…+a7 的值．

【解答】解：由题意可得，[（a1﹣3）+a1﹣1]+[（a2﹣3）+a2﹣1]+…+[（a7﹣3）+a7﹣1]=14， ∴[（a1﹣3）+a1﹣3]+[（a2﹣3）+a2﹣3]+…+[（a7﹣3）+a7﹣3]=0，

根据等差数列的性质可得 （a4﹣3﹣3d）+（a4﹣3﹣2d）+…+（a4﹣3﹣d）+7（a4﹣3）=0，

（a4﹣3）+7（a4﹣3）=0，

（a4﹣3）[7（a4﹣3）3 +84d2+7]=0，∴a4﹣3=0，即a4=3． ∴a1+a2+…+a7=7a4=21， 故答案为：21．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求满足下列条件的直线l′的方程． （1）l′与l平行且过点（﹣1，3）；

（2）l′与l垂直且在两坐标轴上的截距相等． 【考点】IK：待定系数法求直线方程．

【分析】（1）根据平行直线的斜率相等，用点斜式求出直线方程；

（2）根据两直线垂直求出对应的斜率，再利用截距相等求出对应的截距，从而写出所求的直线方程．

【解答】解：（1）直线l：3x+4y﹣12=0，其斜率为∵l′∥l，∴∴直线

， ，

，

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

12

即为3x+4y﹣9=0； （2）∵l′⊥l，∴l′的

，

，

设l′在y轴上的截距为b，则l′的方程为故它在x轴上的截距为

，

∵在两坐标轴上的截距相等， ∴∴ 18．设函数

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求

的值．

．

，解得b=0， ，即4x﹣3y=0．

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得f（x）的单调递增区间；

（2）用三角函数的平移变换规律，求解出g（x）的解析式，即可求出【解答】解：函数化简可得：f（x）==sin2x﹣即由得：

∴f（x）的单调递增区间是（2）由（1）知，

，

，

．

cos2x+

=2sin（2x﹣

，

， ﹣1+2sinxcosx ）+

．

的值．

13

把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

的图象，再把得到的图象向左平移

的图象，

即那么：

19．围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）． （Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【考点】5D：函数模型的选择与应用；34：函数的值域；7G：基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】（I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得

，

2

个单位，得到

．

．

此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；

（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．

【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am， 则y=45x+180（x﹣2）+180•2a=225x+360a﹣360． 由已知ax=360，得所以

（II）因为x＞0，所以所以

，当且仅当

，

．

，

时，等号成立．

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

14

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若

c，求角A；

共线，c=2，且△ABC的面积为

，求a的值． ，

（Ⅱ）若向量与向量

【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】（Ⅰ）利用求角A；

（Ⅱ）利用向量共线，三角形的面积，转化求解a即可． 【解答】解：（Ⅰ）由由正弦定理可得即即∴（Ⅱ）由由

由①，②得：∴

，

． 得：

，即

，∴A=60°．

得：a2sinC=2①

② ，

，∴

，

，即

=

． ，

．

c，结合正弦定理以及两角和与差的三角函数化简方程，转化

∴a=2．

21．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an﹣2n（n∈N*）． （1）求证：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），Tn为数列【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．

15

的前n项和，求证：Tn≥．

【分析】（1）由Sn=2an﹣2n，得当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2（n﹣1），两式相减得an=2an﹣1+2，由此能推导出{an+2}是以a1+2=4为首项，2为公比的等比数列，进而能求出数列{an}的通项公式． （2）

，从而

，进而

，由此利用错位相减法能求出

，从而能证明．

【解答】证明：（1）当n∈N*时，Sn=2an﹣2n，① 当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2（n﹣1）②

由①②两式相减得：an=2an﹣2an﹣1﹣2，即an=2an﹣1+2，∴an+2=2（an﹣1+2），∴

，

当n=1时，S1=2a1﹣2，则a1=2，

∴{an+2}是以a1+2=4为首项，2为公比的等比数列， ∴，∴

．

（2）

，

∴，

则①

②

由①﹣②得：

==

=，

∴

．

∴当n=1时，

，

；

16

当n≥2时，∴综上得：

，．

，

22．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x﹣y+2（1）求圆O的方程； （2）过点（1，

）的直线l截圆所得弦长为2

=0相切．

，求直线l的方程；

（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1k2=﹣2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．

【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．

【分析】（1）由圆O与直线相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出圆的方程；

（2）分两种情况考虑：当直线l斜率不存在时，直线x=1满足题意；当直线l斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线l的方程，综上，得到满足题意直线l的方程； （3）根据题意求出A的坐标，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中k1k2=﹣2，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可． 【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x﹣y+2∴圆心O到直线的距离d=

=0相切，

=2=r，

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∴圆O的方程为x2+y2

=4；

（2）若直线l的斜率不存在，直线l为x=1， 此时直线l截圆所得弦长为2

，符合题意；

若直线l的斜率存在，设直线为y﹣

=k（x﹣1），即3kx﹣3y+

﹣3k=0，

由题意知，圆心到直线的距离为d==1，解得：k=﹣，

此时直线l为x+

y﹣2=0，

则所求的直线为x=1或x+

y﹣2=0；

（3）由题意知，A（﹣2，0），设直线AB：y=k1（x+2）， 与圆方程联立得：

，

消去y得：（1+k21）x2+4k21x+（4k21﹣4）=0， ∴xA•xB=

，

∴xB=，yB=，即B（，），

∵k1k2=﹣2，用代替k2得：C（，），

∴直线BC方程为y﹣=（x﹣），

即y﹣=（x﹣）（k21≠2），

整理得：y=x+=（x+）（k21≠2），

则直线BC定点（﹣，0）．

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