三明市四地四校2021-2022学年高二上学期期中联考 数学试题(含答案)

数学试题

一、单选题(每小题5分，共40分。)

1.已知空间向量a＝(1，－1，0)，＝(1，－1，1)，则|a＋b|＝ A.3 B.2 C.3 D.5

x2y21上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为 2.若椭圆

2A.6 B.7 C.8 D.9

3.圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心与半径分别为

A.C(－2，1)，r＝3 B.C(－2，1)，r＝9 C.C(2，－1)，r＝3 D.C(2，－1)，r＝9

4.已知直线l1：2x－y－2＝0与直线l2：3x＋y－8＝0的交点为A，则点A与点B(2，3)间的距离为 A.13 B.22 C.2 D.1

5.圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝9的公切线的条数为 A.4 B.3 C.2 D.1

6.如图，空间四边形OABC中，OAa，OBb，OCc，且OM＝2MA，BN＝NC，则MN＝

211111abc B.abc 322222221121C.abc D.abc

332232A.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为

A.x－2y－4＝0 B.2x＋y－4＝0 C.4x＋2y＋1＝0 D.2x－4y＋1＝0

x2y28.已知椭圆C1：221(ab0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得过点P所作的

ab圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是 A.[

23231，1) B.[，] C.[，1) D.[，1)

22222二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分。)

9.已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1，1，－3)，D(3，－5，3)，那么以下说法中正确的是

A.AB＝(－2，3，－3) B.A点关于x轴的对称点为(3，1，－2)

C.AC的中点坐标为(－2，0，－1) D.D点关于XOY面的对称点为(3，－5，－3) 10.已知直线5x－12y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则实数a的值可能为 A.－8 B.8 C.－18 D.18 11.下列说法正确的是

A.直线y＝ax－2a＋4(a∈R)必过定点(2，4) B.直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1 C.直线x＋3y＋1＝0的倾斜角为120°

1

D.过点(－2，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0

x2y21内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，12.已知椭圆C：

48则下列结论正确的是

A.椭圆的焦点坐标为(2，0)､(－2，0) B.椭圆C的长轴长为42 C.直线l的方程为x＋y－3＝0 D.AB43 3三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。第13题第一空2分，第二空3分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上。)

13.已知a＝(－4，2，x)，b＝(2，－1，3)，如果a//b，则x＝ ；如果a⊥b，则x＝ 。 14.圆心在第一象限，半径为1，且同时与x，y轴相切的圆的标准方程为 。 15.已知A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点，则

y的取值范围是 。 xx2y21上一动点，F1，F2分别为左右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|， 16.设P为椭圆

1713则动点Q的轨迹方程为 。

四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，第18－22题每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(10分)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y－1＝0。 (1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)当l1//l2时，求实数a的值。

18.(12分)如图在边长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点。

(1)求异面直线EF与CD1所成角的大小。 (2)证明：EF⊥平面A1CD。

19(12分)在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答： ①与直线4x－3y＋5＝0垂直；②过点(5，－5)；③与直线3x＋4y＋2＝0平行。 问题：已知直线l过点P(1，－2)，且 。 (1)求直线l的一般式方程；

(2)若直线l与圆x2＋y2＝5相交于点P，Q，求弦PQ的长。

2

20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点。

(1)求平面ACD和平面ACM夹角的余弦值； (2)求点P到平面ACM的距离。

21.(12分)如图，某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向且距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向且距O岛20千米处。以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。圆C经过O、A、B三点。

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30°方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由。

x2y222.(12分)已知椭圆：x221(ab0)经过点M(－2，1)，且右焦点为F(3，0)。

ab(1)求椭圆的标准方程.

(2)过点N(1，0)的直线AB交椭圆于A，B两点，记t＝MAMB，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，

求t1＋t2的值。

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