平面连杆机构优化设计

一、问题描述

平面连杆机构是由所有构件均由低副连接而成的机构，四杆机构是最常用的平面连杆机构。一般情况下，四杆机构只能近似实现给定的运动规律或运动轨迹，精确设计较为复杂。在四杆机构中，若两连架杆中的一个是曲柄，另一个是摇杆，则该机构为曲柄摇杆机构。曲柄摇杆机构可将曲柄的连续转动转变为摇杆的往复摆动。

设计一曲柄摇杆机构(如图1所示)。已知曲柄长度l1=100mm，机架长度l4=500mm。摇杆处于右极限位置时，曲柄与机架的夹角为φ0，摇杆与机架的夹角为ψ0。在曲柄转角φ从φ0匀速增至φ0+90°的过程中，要求摇杆转角0202。为防止从动件卡死，连杆与摇杆的夹角γ只3π允许在45°~135°范围内变化。

l2 l3 l1 90° φ0 ψ0 l4

图1 机构运动简图

二、基本思路

四杆机构的设计要求可归纳为三类，即满足预定的连杆位置要求、满足预定的运动规律要求、满足预定的轨迹要求。本案例中，要求曲柄作等速转动时，摇杆的转角满足预定运动规律E020。优化设计3π时，通常无精确解，一般采用数值方法得到近似解。本案例将机构预定的运动规律与实际运动规律观测量之间的偏差最小设为目标，由此建立优化设计数学模型，并运用MATLAB优化工具箱的相关函数进行求解。 三、要点分析

优化设计数学模型的三要素包括设计变量、目标函数和约束条件。依次确定三要素后，编写程序进行计算。

1.设计变量的确定

通常将机构中的各杆长度，以及摇杆按预定运动规律运动时，曲柄所处的初始位置角𝜑0列为设计变量，即

X(x1x2x3x4x5)T(l1l2l3l40)T (1)

考虑到机构各杆长按比例变化时，不会改变其运动规律，因此在计算可取l1为单位长度，而其他杆长则按比例取为l1的倍数。若曲柄的初始位置对应摇杆的右极限位置，则φ0及ψ0均为杆长的函数，即

2(l1l2)2l4l320arccos(2)

2(l1l2)l42(l1l2)2l4l320arccos (3)

2l3l4因此，设计变量缩减为3个变量，即

X(x1x2x3)T(l2l3l4)T (4)

2.目标函数的建立

以机构预定的运动规律观测量ψEi与实际运动规律观测量ψi之间的偏差平方和最小为指标来建立目标函数，即

f(X)(Eii)2min (5)

i1m式中，m为输入角的等分数；ψEi为预期输出角，ψEi=ψE(φi)；ψi为实际输出角。由图2可知：

iπii(0iπ) (6)

πii(πi2π)i2l32l22iarccos (7)

2il3i2l42l12iarccos (8)

2il4il12l422l1l4cosi (9)

l2 l3 l1 φi l4 βi αi ψi l1 φi l2 l4 βi αi l3 ψi

(a) 0≤φi<π (b) π≤φi<2π

图2 曲柄摇杆机构的运动学关系

3. 约束条件的确定

(1) 曲柄摇杆机构应满足曲柄存在条件，可得

g1(X)l1l20 (10)

g2(X)l1l30 (11) g3(X)l1l40 (12) g4(X)l1l4l2l30 (13) g5(X)l1l2l3l40 (14) g6(X)l1l3l2l40 (15)

(2) 连杆与摇杆的夹角应在γmin和γmax之间，即

2 l2l32(l1l4)2g7(X)arccosmax0 (16)

2l2l32l2l32(l4l1)2g8(X)minarccos0 (17)

2l2l3四、具体步骤

1. 选择设计变量

已知l1=100mm，l4=500mm，且φ0和ψ0不是参数，它们可由下式(2)、式(3)求出，即

arccos(100l22)250000l2301000(100l2) (100l22)250000l230arccos1000l3

所以该问题只有两个参数l2和l3，故设计向量为

X(x1x2)T(l2l3)T

2. 建立目标函数

将输入角分成30等分，并依次取30个观测点ψ1, ψ2, ...,得目标函数

30f(X)(Eii)2

i1式中：iπii

r2l22222i3l2rix2x1iarccos2ril32rix2 arccosr2l2i4l21r2i240000i2rarccosil41000ri rl2l2i142l1l4cosi260000100000cosi

22Ei03πi0 3. 确定约束条件

约束函数按曲柄存在条件及对传动角的来建立，得

g1(X)100x10

ψ30，g2(X)100x20

g3(X)600x1x20

g4(X)x1x24000

g5(X)x2x14000

2g6(X)x12x21.414x1x21600000

2g7(X)360000x12x21.414x1x20

4. MATLAB程序及优化结果

这是一个具有2个设计变量、7个不等式约束条件的优化设计问题。应用MATLAB软件的优化工具箱的fmincon函数对上述优化问题求解。 (1) 编写m文件Objfun.m定义目标函数。 function f=objfun(x) l1=100； l4=500；

th0=acos(((100+x(1))^2-x(2)^2+250000)/(1000*(100+x(1))))； ps0=acos(((100+x(1))^2-x(2)^2-250000)/(1000*x(2)))； f=0；

for th=th0:pi/2/30:th0+pi/2

r=(10000+250000-2*100*500*cos(th))^0.5；

a=acos((r^2+x(2)^2-x(1)^2)/(2*r*x(2)))； b=acos((r^2+240000)/(1000*r))； ps=pi-a-b；

pse=ps0+2/(3*pi)*(th-th0)^2； f=f+(ps-pse)^2； end

(2) 编写m文件confun.m定义约束。 function [c，ceq]=confun(x) c(1)=100-x(1)； c(2)=100-x(2)； c(3)= 600-x(1)-x(2)； c(4)= x(1)-x(2)-400； c(5)= x(2)-x(1)-400；

c(6)= x(1)^2+x(2)^2-1.414*x(1)*x(2)-160000； c(7)= 360000-x(1)^2-x(2)^2-1.414*x(1)*x(2)； ceq=[]；

(3) 编写m文件run.m求解计算。 x0=[400 400]；

options=optimset('LargeScale'，'off')；

[x,fval]=fmincon(@objfun，x0，[]，[]，[]，[]，[]，[]，@confun) (4) 运行m文件run.m，得最优解 X*=(412.26mm, 232.2417mm)，f(X

*

)=0.0076 mm2。 五、问题拓展

满足预定运动轨迹的优化设计，要求机构在运行过程中，连杆上的某

点(分析点)尽可能沿着给定的曲线运动。设计时，连杆分析点坐标可由机构杆长和夹角表示。以分析点的预定轨迹观测点坐标值与实际轨迹观测点坐标值之间的偏差平和最小为指标来建立目标函数，并列出传动角要求、曲柄存在条件以及杆长尺寸等约束条件。