2020海淀区高三数学期末上学期试题及答案

数

学 2020. 01

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1）已知集合U1,2,3,4,5,6,A1,3,5，B2,3,4，则集合A（A）1,3,5,6}

（B）1,3,5}

（C）1,3}

UB是

（D）1,5}

（2）抛物线y4x的焦点坐标为 （A）(0,1)

20) (B）(1，（C)(0,1) (D）(1,0)

22(3）下列直线与圆(x1)(y1)2相切的是

（A)yx （4）已知a,b（B）yx

(C）y2x （D）y2x

R，且ab,则

(B)sinasinb

（C)()(A)

1a1b

1a31()b 3（D）a2b2

（5）在(x)的展开式中，x的系数为

153x(A）5 （B)5 （C）10 （D）10

（6)已知平面向量a,b,c满足abc0，且|a||b||c|1，则ab的值为

高三年级（数学）第1页（共5页）

(A）

12 （B）

12 (C）

32 （D)32

（7）已知， , 是三个不同的平面,且=m,=n，则“m∥n\"是“∥\"的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

(B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（8）已知等边△ABC边长为3。 点D在BC边上，且BDCD，AD7. 下列结论中

错误的是

BD2 （A）CDSABD2 (B)

SACD（C）sinBADcosBAD2 2 （D）

sinCADcosCAD(9）声音的等级f(x)（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2)满足f(x)10lgx11012。

喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A)106倍

(B)108倍

（C）1010倍

(D)1012倍

D1（10)若点N为点M在平面上的正投影，则记N图,在棱长为1的正方体ABCDf(M)。 如

A1C1B1A1B1C1D1中，记平面

f[f(P)]. 给出下列

AB1C1D为

三个结论：

，平面ABCD为,点P是棱CC1上一动点（与

C，C1不重合),Q1f[f(P)],Q2PDABC12①线段PQ2长度的取值范围是[,)；

22②存在点P使得PQ1∥平面③存在点P使得PQ1;

PQ2.

其中，所有正确结论的序号是

高三年级（数学）第2页（共5页）

（A)①②③ (B）②③ （C）①③ （D）①②

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分,共30分。

（11）在等差数列an中，a25，a52,则a7_________。

（12）若复数z1ii,则|z|=_________。

（13)已知点A(0,3)，点B，C分别为双曲线

x2a2y231 (a0)的左、右顶点。 若△

ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_________.

（14）已知函数f(x)xax在区间(1,4)上存在最小值，则实数a的取值范围是_________.

x 1 41 25 4 2 11 4 x f(x) 0 0 2 322 0 2 0 2 （15）用“五点法”作函数f(x)Asin(x)的图象时，列表如下：

则f(1)_________,f(0)f()_________。

124422（16)已知曲线C:xymxy1（m为常数）.

（i)给出下列结论：

①曲线C为中心对称图形; ②曲线C为轴对称图形；

高三年级（数学）第3页（共5页）

③当m1时，若点P(x,y)在曲线C上，则|x|1或|y|1. 其中，所有正确结论的序号是 。

（ii）当m2时，若曲线C所围成的区域的面积小于，则m的值可以是 。（写出一个即可）

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （17）（本小题共13分）

已知函数f(x)cosx3sinxcosx212。

（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f(x)在区间[0,m]上的最大值为1,求m的最小值。

（18）(本小题共13分）

如图，在三棱锥VABC中，平面VAC平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形,ABBC，ACCV2,M，N分别为VA， VB的中点. (Ⅰ)求证：AB//平面CMN； （Ⅱ）求证:ABVC;

（Ⅲ）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值.

（19）（本小题共13分)

某市《城市总体规划（2016—2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为0。6~1）、良好小区(指数为0.4～0。6）、中等小区（指数

高三年级（数学）第4页（共5页）

VMNCAB为0。2～0。4）以及待改进小区（指数为0 ～0。2）4个等级. 下面是三个小区4个方面指标的调查数据： 小区 指标值 权重 教育与文化（0.20） 医疗与养老（0.20） 交通与购物（0.32） 休闲与健身(0。28） 0.7 0.7 0。5 0.5 0.9 0.6 0.7 0.6 0.1 0.3 0。2 0.1 A小区 B小区 C小区 w2T2w3T3w4T4，其中注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数TwT11w1,w2,w3,w4为该小区四个方面的权重,T1,T2,T3,T4为该小区四个方面的指标值（小区

每一个方面的指标值为0～1之间的一个数值）。

现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表: 分组 [0,0。2） [0。2，0.4) ［0。4,0。［0。6,0。6） 频数 10 20 30 8） 30 ［0。8，1] 10 （Ⅰ）分别判断A，B,C三个小区是否是优质小区，并说明理由；

(Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样,

抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查,记这2个小区中为优质小区的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.

（20）（本小题共14分)

3x2y2已知椭圆C:221(ab0)的右顶点A2,0，且离心率为．

2ab高三年级（数学）第5页（共5页）

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点,过点O的直线l与椭圆C交于两点P，Q,直线AP和AQ分别与直

线x4交于点M,N．求△APQ与△AMN面积之和的最小值.

（21）（本小题共13分）

已知函数f(x)e(ax1)(a0)。 （Ⅰ)求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (Ⅱ）若函数f(x)有极小值，求证：f(x)的极小值小于1.

（22）（本小题共14分）

给定整数n(n2)，数列A2n1：x1,x2,x2,x2n1每项均为整数，在A2n1中去掉一项

xk, 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大

值记为mk(k1,2,,2n1). 将m1,m2,,m2n1中的最小值称为数列A2n1的特征值.

（Ⅰ）已知数列A5:1,2,3,3,3，写出m1,m2,m3的值及A5的特征值；

（Ⅱ）若x1x2x2n1，当[i(n1)][j(n1)]0,其中i,j{1,2,,2n1}且

ij 时，判断|mimj|与|xixj|的大小关系，并说明理由;

（Ⅲ）已知数列A2n1的特征值为n1，求

1ij2n1|xixj|的最小值。

高三年级（数学）第6页（共5页）

海淀区2020届高三年级第一学期期末练习参

数

阅卷须知：

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2。其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C 9 B 10 D 学 2020。01

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 题号 11 12 13 14 15 16 ① ②③;m2均可 答案 0 22 (1,16) 2；0 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（17）解：（Ⅰ）f(x)1cos2x31sin2x 22231sin2xcos2x 22高三年级（数学）第7页（共5页）

πsin(2x).

6因为ysinx的单调递增区间为2kπππ,2kπ(kZ), 22令2xπππ2kπ,2kπ(kZ)， 622ππ,kπ(kZ). 36得xkπ所以f(x)的单调递增区间为kπππ,kπ(kZ)。 36(Ⅱ）方法1：因为x[0,m]，

所以2xπππ[,2m]。 666π6又因为x[0,m],f(x)sin(2x)的最大值为1，

所以2mππ. 62解得mπ. 6π。 6所以m的最小值为

方法2：由(Ⅰ）知： 当且仅当x=kππ(kZ)时,f(x)取得最大值1。 6因为f(x)在区间[0,m]上的最大值为1，

所以mπ. 6高三年级（数学）第8页（共5页）

所以m的最小值为

π。 6（18)解：（Ⅰ）在△VAB中,M，N分别为VA，VB的中点，

所以MN为中位线。 所以MN//AB。 又因为

z

VAB平面CMN,MN平面

MN

CMN，

所以AB//平面CMN。

(Ⅱ）在等腰直角三角形△VAC中，ACCV,

所以VCAC。 因为平面VAC平面

xABCHyABC,平面VAC平面

ABCAC， VC平面

VAC,

所以VC平面ABC。 又因为AB平面ABC, 所以ABVC.

(Ⅲ）在平面ABC内过点C做CH垂直于AC，

由（Ⅱ）知，VC平面ABC， 因为CH平面ABC，

所以VCCH。 如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz. 则C(0,0,0)，V(0,0,2)，B(1,1,0)，M(1,0,1)，N(,高三年级（数学）第9页（共5页）

11,1). 2211VB(1,1,2),CM(1,0,1)，CN(,,1)。

22设平面CMN的法向量为n(x,y,z)，

nCM0, 则nCN0.xz0,即1 1xyz0.22令x1则y1，z1,

所以n(1,1,1). 直线VB与平面CMN所成角大小为，

sin|cosn,VB|nVB22。

3|n||VB|22. 3所以直线VB与平面CMN所成角的正弦值为

（19)解：（Ⅰ)方法1：

A小区的指数T0.70.20.70.20.50.320.50.280.58， 0.580.60,所以A小区不是优质小区；

B小区的指数T0.90.20.60.20.70.320.60.280.692, 0.6920.60,所以B小区是优质小区;

C小区的指数T0.10.20.30.20.20.320.10.280.172， 0.1720.60,所以C小区不是优质小区. 方法2:

高三年级（数学）第10页（共5页）

A小区的指数T0.70.20.70.20.50.320.50.280.58 0.580.60，所以A小区不是优质小区；

B小区的指数T0.90.20.60.20.70.320.60.28

0.60.20.60.20.60.320.60.280.6。

B小区是优质小区;

C小区的指数T0.10.20.30.20.20.320.10.28

0.60.20.60.20.60.320.60.280.6.

C小区不是优质小区.

（在对A、B、C小区做说明时必须出现与0。6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）

(Ⅱ)依题意，抽取10个小区中,共有优质小区1030104个，其它小区1001046个。

依题意ξ的所有可能取值为0，1，2.

2C6151P(0)2;

C104531C12484C6P(1)2；

C104515C262P(2)24.

C104515则的分布列为：

高三年级（数学）第11页（共5页）

 0 1 815 2 215 P 13

1824E012 .

315155a2,3c（20）解：（Ⅰ）解：依题意,得 ,a2c2a2b2(ab0).解得，a2, b1.x2所以椭圆C的方程为y21.

4（Ⅱ）设点Q(x0,y0)，依题意，点P坐标为(x0,y0),

x02满足y021（2x02且y00)，

4直线QA的方程为yy0(x2) x02令x4,得y2y02y0). ，即N(4,x02x02y02y0(x2) ,同理可得M(4,)。 x02x02直线PA的方程为y设B为x4与x轴的交点.

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11SAPQSAMN|OA||yPyQ||AB||yMyN|

222y02y011 2|2y0|2||

22x02x0211| x02x024|。

x024 2|y0|2|y0||2|y0|2|y0||22又因为x04y04,y00,

所以SAPQSAMN2|y0|2|y0|12=2|y|4。 02y0|y0|当且仅当y01取等号，所以SAPQSAMN的最小值为4.

（21）解：(Ⅰ）由已知得f(x)ex(ax22ax1)，

因为f(0)1 ，f(0)1， 所以直线l的方程为yx1.

(Ⅱ）(i）当0a1时,ax22ax1a(x1)21a0，

所以f(x)ex(ax22ax1)0(当且仅当a1且x1时，等号成立).

所以f(x)在R上是单调递增函数.

所以f(x)在R上无极小值。

(ii)当a1时，一元二次方程ax22ax10的判别式4a(a1)0,

高三年级（数学）第13页（共5页）

记x1,x2是方程的两个根,不妨设x1x2.

x1x220,则 1xx0.12a所以x1x20.

此时f(x),f(x)随x的变化如下：

x f(x) (,x1) ↗ x1 0 极大值 (x1,x2) ↘ x2 (x2, ↗ ) 0 极小值 f(x) 所以f(x)的极小值为f(x2)。 又因为f(x)在[x2,0]单调递增， 所以f(x2)f(0)1.

所以f(x)的极小值为小于1.

22。 解：（Ⅰ）由题知：

m1(33)(23)1； m2(33)(31)2;

m33。 A5的特征值为1。

高三年级（数学）第14页（共5页）

（Ⅱ）|mimj|=|xixj|。

理由如下：

由于[i(n1)][j(n1)]0,可分下列两种情况讨论：

错误!当i,j{1,2,,n1}时,

根据定义可知：

mi(x2n1x2n =(x2n1x2nxn2)(xn1xnxn2)(xn1xnx1xi) x1)xi

x1)xj

同理可得：mj=(x2n1x2nxn2)(xn1xn所以mimjxixj.

所以|mimj|=|xixj|.

错误!当i,j{n1,n2,,2n1}时，同错误!理可得:

x1)

mi(x2n1x2n =(x2n1x2nmj=(x2n1x2nxn1xi)(xnxn1xn1)(xnxn1xn1)(xnxn1x1)xi x1)xj

所以mimjxjxi.

所以|mimj|=|xixj|.

综上有：|mimj|=|xixj|。

高三年级（数学）第15页（共5页）

（Ⅲ）不妨设x1x2

x2n1，

1ij2n1|xixj|

2nx2n1(2n2)x2n2xn20xn12xn2(xn2xn)，

2nx12n(x2n1x1)(2n2)(x2nx2)显然，x2n1x1x2nx2 x2n1x2nxn2xn，

x1)

xn2(xnxn1(xn1x2n)(x1x2xn)m2n1。

当且仅当xn1x2n1时取等号； x2n1x2n (xn2xn2(xnxn1x2n1)(x2x3x1) xn1)m1

当且仅当x1xn1时取等号；

由（Ⅱ）可知m1,m2n1的较小值为n1， 所以x2n1x2nxn2(xnxn1x1)n1.

当且仅当x1xn1x2n1时取等号，

此时数列A2n1为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有 x2n1x2nxn2(xnxn1x1)n。

高三年级（数学）第16页（共5页）

下证:若pq0，2kn，总有(2n2k)pkq(n1)(pq)。

证明：(2n2k)pkq(n1)(pq) =(n1k)p(n1k)q (n1k)(pq)0。

所以(2n2k)pkq(n1)(pq)。

因此

1ij2n1|xixj|

2(xn2xn)

x1)

2n(x2n1x1)(2n2)(x2nx2)(n1)(x2n1x2nxn2xnxn1n(n1).

当xk0,1kn,时，

1,n1k2n1,1ij2n1|xixj|可取到最小值n(n1)，符合题意.

所以

1ij2n1|xixj|的最小值为n(n1)。

高三年级（数学）第17页（共5页）