2021年小升初奥数22讲-第6讲分数与百分数应用题

知识要点

浓度问题是百分比问题.在这类问题中涉及三个基本量：溶质(在溶剂中的物质)、溶剂（溶解溶质的液体、气体）和溶液（含溶质的混合物).这三个基本量符合下面计算公式：

溶质质量溶质质量100%100%浓度百分比

溶液质量溶质质量溶剂质量在我国社会主义市场经济健康持续发展、人民生活目益提高的形势下，在人民生活及公司、企业、商店的经济运作中，存款、成本、投资、利润、利息、利率等问题已成为社会日益关注的焦点，人人都要有“经济头脑”以期用较少的投入得到较高的回报.

例如某商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元?

又如张先生以标价的95%买下了一套房子，经过一段时间后，他又以超出原标价40%的价格将房子卖出，这一段时间物价总涨幅为20%.张先生买进和卖出这套房子的实际利润率为百分之几?

这类问题大多数是百分数问题，一般解法可采用解简单方程法. 基本知识点为公式：

利润或利息成本或原价、存款等利润率或利率.

“一堆草，可供3头牛和5只羊吃15天，或供5头牛和6只羊吃10天.问：这堆草可

供8头牛11只羊吃多少天?”在数学竞赛中，经常出现这样的问题.这类问题类似“工程问题”，这里的“工作量”就是草场的草量，“工人”就是这些羊、牛，解决这类问题的基本方法就是要确定“工作效率”（即1头牛1天吃草的量）或“工作总量”（即草的总量).进一步推想，在生活中有很多问题，在这类问题中存在两个“相反变化”的量，例如在交通车上，有乘客上车的流量与下车的流量；在注水中有进水量与排水量等，怎样设计车辆的座位才能使人人有座位，怎么调节进水速度与排水速度才能保持水池中水量的状况（如排光或盛满).这类问题都可看作“牛吃草”问题.

典例精讲

典例1 A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水.将某种浓度的盐水10克倒人A中，充分混合后从A中取出10克倒入B中，再充分混合后从B中取出10克倒入C中，最后得到的盐水的浓度是0.5%.一开始倒入试管A中的盐水浓度是多少(用百分数表示)?

解 将某种浓度的盐水倒入A中后，A中溶液的浓度变为原来的中后，B中溶液的浓度变为A中的

101再倒人B；10102101又倒入C中后，C中的溶液浓度变为B中的；10203101所以原来盐水的浓度是 ；103041110.5%12%.

432

答：一开始倒入试管A中的盐水浓度是12%.

典例2 在编号为1、2、3的三个相同的杯子里，分别盛着半杯水.1号杯中溶有100克

1都倒入2号杯，421然后搅匀.再从2号杯倒出所盛液体的到1号杯中，接着倒出所余液体的到3号杯中：

77糖，3号杯中溶有100克盐.先将1号杯中液体的一半及3号杯中液体的这时每个杯中含盐量与含糖量之比各是多少?

分析 由于各杯中溶质的数量均已给出，每次混合时，倒出的溶液数(以分数形式给出）也为已知，因此每次混合后各杯中溶质数量容易计算出来，因此分三步直接可算出3个杯中最后的溶质数量.

解 第一步，将1、3号杯中部分溶液倒入2号杯后，1号杯中含糖50克；2号杯中含糖50克，含盐25克；3号杯中含盐75克

222液体倒入1号杯后，1号杯中含糖5050克，含盐77721552号杯中含糖50克，含盐25克；克；3号杯中含盐75克. 257克；7777第二步，将2号杯中的

121倒入3号杯之后，1号杯中含糖克，含盐7克；27775656515号杯中含糖50克，含盐25克；3号杯中含糖255克，含盐

777777495127752577克，从而可知含盐量与含种量之比，对于1、2、3号杯，依次为：

7749第三步，将2号杯中液体的1:9、1:2及76:5.

答：这时1、2、3号杯中含盐量与含糖量之比依次为1：9、1:2、76:5.

典例3 有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50%酒精的液

体.先将乙杯中液体的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯问：这时乙杯中酒精溶液的浓度是多少?

分析与解 本题用列表法可使思路更为清晰.

所以这时乙杯中的溶液浓度为：

38100%37.5%.1

这时乙杯中酒精溶液的浓度是37.5%.

典例4 某商店进了一款服装，其进价为125元/件，为了促销，经理以8折优惠出售，但他期望每件服装赚15元，那么这款服装每件标价应为多少元?

解 用列方程来解.设每件标价为x元，在打8折后每件的实售价为x×80%.由于实售价仍比进价多15元，故可列出方程x80%12515.解得x175元，即每件标价175元.

答：这款服装每件标价应为175元.

典例5 张先生以标价的95%买下了一套房子，经过一段时间后，他又以超出原标价40%的价格将房子卖出，这一段时间物价的总涨幅为20%.张先生买进和卖出这套房子的实际利润率为百分之儿?

解 由于本题所求答案是一个百分数，计算过程并不涉及房子实际价格，为了计算方便，不妨假设房子的标价为100元.那么，张先生用了95元（它是一个整数）买下了这套房子，以100140%140元卖出.

由于从买进到卖出总物价涨幅为20%，因此买进时的95元，相当于卖出时的所以实际的利润率为(140114)11422.8%. 95120%114元，答：张先生买进和卖出这套房子的实际利润率为22.8%.

典例6 有三块草地，面积分别为3顷、10顷和24顷.草地上草一样厚，而且长得一样快，如果第一块草地饲养12头牛，可以维持4周；第二块草地饲养21头牛，可以维持9周.问：第三块草地饲养多少头牛，恰好可以维持18周呢？

解 将第一块地的面积乘以3，牛的头数也乘以3，变为10顷地可供36头牛吃4周，对比第二块地，10顷地可供21头牛吃9周.若设1头牛1周吃的草为1份，则10顷地每周长草219364949份，所以10顷地原有草2199108份，由此推知24顷地18周共有草：

1310891810248份.

918表示在这18周内，地里共新生长出的草的总量，维持18周，可供牛

81836头.答：第三块草地饲养36头牛，恰好可以维持18周.

典例7 有一片牧场，草每天都在均匀地生长，如果放24头牛，则6天吃完草；如果放21头牛，则8天吃完草.要使这片牧场的草永远吃不完，这片牧场最多放几头牛?

解 设1头牛1天吃草量为1份，则24头牛6天吃草246144份，21头牛8天吃草

218168份.

所以一天长草24212份，即要使草吃不尽，至286天长草16814424份，多放12头牛.

答：这片牧场最多放12头牛.

水平测试ABC

A卷

解答题

1.一满杯水溶有10克糖，就匀后喝去

22；添入6克糖，加满水搅匀，再喝去，添入336克糖、加满水搅匀，又喝去所剩的糖水中有多少克糖?

22再添入6克糖，加满水搅匀，仍喝去.问此时杯中332.两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水，倒在一起后混合食盐水浓度为30%.若再加入300克20%的食盐水，则浓度变成25%，那么原有40%食盐水多少克? 3.130克含盐5%的盐水与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，这样配成6.4%的盐水有多少克?

4.瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的浓度变成了14%，已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液浓度是百分之几?

5.使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要兑水40千克.根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效.现在两种农药共50千克，要配药水1400千克，那么其中甲种农药用了多少干克?

6.甲容器中有纯酒精40升，乙容器中有水11升.第一次将甲容器中的一部分酒精倒入乙容器，使酒精与水混合.第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这时测得甲容器中酒精含量为80%，乙容器中酒精含量为75%.第 二次从乙容器倒入甲容器的混合液有多少升?

7.配制盐酸含量为20%的盐酸溶液1000克，需要用盐酸含量为18%和23%的盐酸溶液各多少克?

8.仓库运来含水量为90%的一种水果100千克，一个星期后再测，发现含水量降低了变为80%，现在这批水果的总重量是多少千克?

9.甲瓶中酒精浓度为70%，乙瓶中酒精浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度为66%.如果两瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度为66.25%.问：原来甲、乙两瓶酒精各有多少升?

10.有A、B、C三根管子.A管以每秒4克的流量流出含盐20%的盐水，B管以每秒6克的流量流出含盐15%的盐水，C管以每秒10克的流量流出水.但C管打开后开始2秒不流水，接着流5秒，然后又停2秒，再流5秒……现三管同时打开，1分钟后都关闭，这时得到的混合液中含盐百分之几?

11.甲种液体的酒精含量为72%，乙种液体的酒精含量为58%，混合后酒精含量为62%.如果每种液体取的数量比原来都多15升，混合后酒精含量为63.25%.问：第一次混合时甲、乙两种液体各取多少升?

12.有两个杯子，甲盛水，乙盛果汁，甲杯的水是乙杯果汁的2倍.先将甲杯的水倒进乙杯，使乙杯内的液体增加一倍，调匀；再将乙杯的果汁水倒进甲杯，使甲杯内的液体

增加一倍，调匀；再将甲杯的果汁水倒进乙杯，使乙杯内的液体增加一倍………如此倒5次，最后乙杯里果汁占果汁水的几分之几?

13.有甲、乙、丙三个容器，容量为1000毫升甲容器装有浓度为40%的糖水400毫升；乙容器有清水400毫升，丙容器中有浓度为20%的糖水400毫升，先把甲、丙两容器中的糖水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的糖水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器，这时候甲、乙、丙容器中糖水的浓度各是多少?

B卷

一、填空题

1.某电子产品去年按定价的80%出售，能获得20%的赢利.由于今年买入价降低，按同样定价75%出售，即能获得25%的赢利，那么

今年买入价去年买入价 .

2.妈妈三年前将人民币20000元存人银行，今天她从银行共取出利息2484元(存款方式是定期3年)，那么年利率是 .

3.某国际商城用“满300送50”的办法来促销，即购物满300元，赠送50元“礼券”，超过数但不足300元的部分略去不计，如购买720元商品，可获得两张50元“礼券”，多余的120元略去不计，“礼券”在下次购物时代替现金，但“礼券”部分不能再享受“满300送50”的优惠，一位顾客先用1000元购了A商品，得到“礼券”后，又

用这些“礼券”和280元现金购了B商品，那么这位顾客购买A、B两种商品相当于 折优惠.

4.某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元.甲种贷款年利率为14%，乙种贷款年利率为12%，那么该厂申请甲种贷款 万元. 二、解答题

5.甲、乙两种商品成本共200元.商品甲按30%的利润定价，商品乙按20%的利润定价.后来两种商品都按定价的九折销售，结果仍获得利润27.7元.问：甲种商品的成本是多少元?

6.某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买3件.买1件按原定价，买两件降价10%，买3件降价20%.最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售，那么恰买3件的顾客有多少人?

7.某商品按原定价出售，每件利润为成本的25%.后来按原定价的90%出售，结果每天售出的件数比降价前增加了1.5倍，请问：经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?

8.某商品原售价50元.因销售不畅，10月份降价10%.从11月份开始涨价，12月份的售价为.8元.问：11、12两个月的平均涨价率是多少?

9.某工厂去年的总产值比总支出多600万元.预计今年的总产值比去年增加30%，总支出比去年减少20%，因此今年总产值比总支出多1000万元，问：去年总产值和总支出各是多少万元?

10.税法规定，一次性劳务收入若低于800元，免交个人所得税，若超过866元需交所得税，具体标准为：800~2000元部分，超过部分按10%计：2000~5000元部分，超过部分按15%计；5000~10000元部分，超过部分按20%计.某人在一次性劳务收入后纳税1300元，问：他在这次劳务中税后净收入为多少元?

11.某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分，按每度1.50元收费.某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，问：甲、乙、丙三用户共交电费多少元?（用电都按整度数收费)

12.果品公司购进苹果5.2万千克，每千克进价是0.98元，总计付运费、劳务费等1840元，预计途中损耗1%.如果希望全部进货销售后能获利17%，那么每千克苹果零售价应当定为多少元?

C卷

解答题

1.一堆草可供3头牛和5只羊吃15天，或供5头牛和6只羊吃10天，这堆草可供8头牛和11只羊吃几天?

2.有一块草场的草均匀地生长，可供15头牛吃8天，或可供8头牛吃20天.如果一群牛14天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头?

3.第1、2、3号牧场面积依次为3、5、7公顷，三个牧场上的草长得一样密而又长得一样快.有两群牛，第一群牛2天将1号牧场的草吃完，又用5天将2号牧场的草吃完，在这7天内第二群牛刚好将3号牧场的草吃完.如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头?

4.陕北某村有一块草场.假设每天草都均匀生长，这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天.问：如果放牧250只羊可以吃多少天?为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊?

5.自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部.问：扶梯露在外面的有多少级?

6.某传送带沿斜向上方向匀速运行，甲、乙两辆电动玩具车都从顶部逆向行驶到底部.甲每秒行驶3米用100秒，乙每秒行驶2米用200秒.如果甲仍用原来的速度从底部行驶到顶部，需用多少秒?

7.水池安装有A、B、C、D、E五根水管，有的专门排水，有的专门注水.如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示（单位：小时).如果选用一根水管注水，要尽快将空池注满，那么应选用哪根? A、B 2

8.一水池装有一根进水管和几根出水管，进水管以均匀速度不停地向水池进水.如果打开3根出水管，那么8小时可放完池水；如果打开8根出水管，那么2小时可放完池水；如果打开4根出水管，问：几小时可放完池水?

9.一水池有一根进水管不间断地进水，另有若干根相同的抽水管.若用24根抽水管抽水，6小时即可将池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小时可将池中的水抽干.若用16根抽水管，几小时可将水池中的水抽干?

10.由于天气逐渐寒冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天，那么可供11头牛吃几天?

11.一片草地每天长的新草一样多，羊和鹅吃草总量和正好是牛吃草总量.如果草地放牧牛和羊，可吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天；如果放牧羊和鹅，可吃90天.若这片草地放牧牛、羊、鹅，可以吃多少天?

12.一个水池底部安有一根常开的排水管，上部装有若干根同样粗细的进水管.当打开4根进水管时，需5小时注满水池；当打开2根进水管时，需15个小时注满水池.现需在2小时内将水池注满，问：至少打开几根进水管?

C、D 6 E、A 10 D、E 3 B、C 15