2020-2021学年安徽师范大学附属中学高一下学期期中考查数学试题 PDF版

1.若复数z满足z(56i)3，则z的虚部是（）

A．2iB．6iC．1

D．6

2.下面四个条件中，能确定一个平面的是（）

A．空间中任意三点B．空间中两条直线C．空间中两条相交直线

D．一条直线和一个点

3.ABC中，若a1,c2,B30，则ABC的面积为（）A.12B．

32C．1

D．34.下列说法正确的是（

）

A．向量AB与向量BA是相等向量

B．与实数类似，对于两个向量a,b有ab，ab，ab三种关系

C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合5.满足条件a4，b52，A=45的的个数是（

）

A.1

B.2

C.无数个

D.不存在

6.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（）A.22B.1C.2D.2(12)7.已知平面向量a，b满足a(ab)3,且|a|2,|b|1,则向量a与b的夹角为（

）

A．

πB．

π63C．

2π3D．

5π68.在ABC中，若cos2Acos2B2sin2C，则ABC的形状是（）

A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.无法判断

高一数学第1页，共4页9.设复数z满足|z2i|1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是（）

A.1B.3C.5D.310.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，A1A23，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则DEF的周长的最小值（）

A.62B.72C.222D.23211.在非直角ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinBcsinC4bsinBcosC,CD是角C的内角平分线，且CDb，则cosC等于（）

A.18B.3214C.3D.612.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的截

面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1,V2(V1V2)，则V1:V2=（）

A.

13B.

3255C.

47D.

79二、填空题（每小题4分，共16分）

13.若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝.

14.设z1i1i3i，则|z|．

15.已知a

(3,2),

b(1,x1)且a与b夹角为钝角，则x的取值范围为___________

16.锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b25c2，则cosC的取值范

围是

.

三、解答题（本大题共6小题，共48分）

17.（本大题满分6分）实数m取什么值时，复数是

（1）实数；（2）纯虚数．

高一数学第2页，共4页18.（本大题满分6分）如图所示，在边长为52的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥的底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积．

19.（本大题满分6分）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1

的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，求三棱锥S-ABC的体积.

20.（本大题满分8分）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量

m（b,2c）,n(sinC,sinBcosA)，且mn（1）求A的大小；

（2）若a23,c2，求b的值．

高一数学第3页，共4页21.（本大题满分10分）如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC,AD1,BD210,CAD4,tanADC2求：（1）CD的长；

（2）BCD的面积．

22.（本大题满分12分）已知ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设APQ的面积为S，APpPB，AQqQC1，ABC的面积为S2.

（1）求GAGBGC；（2）求证：

1p1q1.（3）求S1S的取值范围.

2高一数学第4页，共4页高一期中答案

一、单项选择题答案

D C A D D , A C A D B , A C 二、填空答案

16[，2 ，，，) 51553x,且x32三、解答题

17【答案】（1）m0或m3------------------------------------------------3分 （2）m=2-----------------------------------------------------------------------------3分

18.如图所示，在边长为5+ 2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，

M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥的底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积．

【答案】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h， 𝑙+𝑟+ 2𝑟=(5+ 2)× 2， 由题意，得 2𝜋𝑙

2𝜋𝑟=4解得

𝑟= 2． -------------------------2分

𝑙=4 2∵圆锥的表面积等于扇形和圆O的面积之和，

∴圆锥的表面积𝑆=𝜋𝑟𝑙+𝜋𝑟2=10𝜋．------------4分 又ℎ= 𝑙2−𝑟2= 30， ∴圆锥的体积为𝑉=𝜋𝑟2ℎ=

3

19.已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，求此棱锥的体积.

1

2 303

𝜋---------------------------6分

第1页，共5页

【答案】

2； 6解：由于三棱锥S­ABC与三棱锥O­ABC底面都是△ABC，O是SC的中点， 因此三棱锥S­ABC的高是三棱锥O­ABC高的2倍，

所以三棱锥S­ABC的体积也是三棱锥O­ABC体积的2倍.----------------2分 在三棱锥O­ABC中，其棱长都是1，如图所示，

S△ABC＝

3363×AB2＝，高OD＝12()2＝，---------------4分 44331236所以VSABC＝2VOABC＝2×××＝.--------------------------6分

343620.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量𝑚 =(𝑏,2𝑐)， 𝑛 =(sinC,sinBcosA)，且𝑚 ⊥𝑛 ． (1)求A的大小；

(2)若𝑎=2 3,𝑐=2，求b的值．

【答案】解：(1)根据题意，△ABC中，向量𝑚 =(𝑏,2𝑐)， =(sinC,sinBcosA)，𝑛且𝑚 ⊥𝑛 ．

则𝑚 ⋅ 𝑛 =bsinC+2csinBcosA=0，--------------------2分 又由sinB=sinC，变形有bsinC=csinB，则有1+2cosA=0， 变形可得cosA=−2，又由0<𝐴<𝜋，则𝐴=(2)根据题意，𝑎=2 3,𝑐=2，cosA=−2， 则cosA=

𝑏2+𝑐2−𝑎2

2bc

1

1

2𝜋3

𝑏

𝑐

， ----------4分

=−2，变形可得：𝑏2+2𝑏−8=0，

1

解可得：𝑏=2或−4(舍)；故𝑏=2．-------------------------8分

π

21.如图，在梯形ABCD中，已知𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=1，𝐵𝐷=2 10，∠CAD=，

4

tan∠ADC=−2，

第2页，共5页

求：(1)CD的长； (2)△BCD的面积．

【答案】解：(1)∵tan∠ADC=−2， ∴sin∠ADC=

2 55

，cos∠ADC=− ．

5

5∴sin∠ACD=sin(∠CAD+∠ADC)

=sin∠CADcos∠ADC+cos∠CADsin∠ADC

=

22

×(−

5)5

+

22

×

2 55

=

10．----------------------210

AD

分

在△ACD中，由正弦定理得sin∠ACD

=

CDsin∠CAD

，即 10101=

CD 22，

解得CD= 5．------------------------------------------4分 (2)∵AD//BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴sin∠BCD=sin∠ADC=

2 55

，cos∠BCD=−cos∠ADC= ．---6分

5

5在△BCD中，由余弦定理得BD2=CD2+BC2−2BC⋅CDcos∠BCD， 即40=5+BC2−2BC，解得BC=7或BC=−5(舍)．----------8分∴S△BCD=BC⋅CDsin∠BCD=×7× 5×

2

2

1

1

2 55

=7．--------10分

，

22.已知ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设APQ的

面积为S1，ABC的面积为S2，APpPB，AQqQC.

（1）求GAGBGC；

11（2）求证：1.

pqS1（3）求的取值范围.

S2第3页，共5页

【详解】

（1）延长AG交BC于D，则D为BC中点，

GB+GC2GD,

G是重心，GA2GD，

GAGBGC2GD+2GD0；---------------------------------3分 （2）设ABa,ACb,

pa， APpPB，AP1+pqb， AQqQC，AQ1+qP,G,Q三点共线，

则存在，使得PQPG，即AQAPAGAP，

11ppqpbaa+ba即a+b，

pp1+q1+p331+31+3pp1+p31+p3p3q，整理得，

2p11qq1+q3即

2p11q1111，即21，即1；--------------------------7分

pqpqpqqpAC， AB，AQ（3）由（2）AP1+q1+p1S12S212APAQsinBACAPAQpq， 1+1+pqABACsinBACABAC第4页，共5页

p111，q，可知p1， pqp1S1p11pqpp222S21+p1+q1+p2p12pp1112119，

+p2pp24p1，011， p则当

SS11141时，1取得最小值，当1时，1取得最大值，

S2S22pp29S1411，则1的取值范围为,.-------------------------------12分 S2p92第5页，共5页