2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一上学期10月选诊断测试数学试题(解析版)

断测试数学试题

一、单选题

1．已知集合Mx,yx,yN*,xy2，则M中元素的个数为（ ） A．1 【答案】A

【分析】根据集合的定义求解．

B．2

C．3

D．4

x1x,yN*xy2【详解】因为且，所以，即集合中只有一个元素(1,1)．

y1故选：A．

2．下列结论正确的是（ ） A．若acbc，则ab C．若ab，c0，则acbc 【答案】C

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.

【详解】A选项，acbc，如2111，而21，所以A选项错误. B选项，a2b2，如102，而10，所以B选项错误.

C选项，ab,ab0,c0，则acbcabc0，所以acbc，所以C选项正确. D选项，ab，如12，而12，所以D选项错误. 故选：C

x3,x103．设函数fx，则f8（ ）

ffx4,x102B．若a2b2，则ab D．若ab，则ab

A．10 【答案】C

B．9 C．7 D．6

【分析】利用函数fx的解析式可计算出f8的值. x3,x10【详解】因为fx，则

ffx4,x10f8ff12f9ff13f107.

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故选：C.

4．命题p：“xR,ax22ax40”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A．4a0 【答案】C

【分析】先化简命题p是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果.

【详解】命题p:xR,ax22ax40为假命题，即命题p:xR,ax22ax40为真命题，首先，a0时，40恒成立，符合题意；其次a0时，a0且2a16a0，即4a0，综上可知，4a0.

2B．4a0 C．3a0 D．4a0

故选项A中，4a0是4a0的充分必要条件；

选项B中4a0推不出4a0，且4a0推不出4a0，即4a0是

4a0的既不充分也不必要条件；

选项C中3a0可推出4a0，且4a0推不出3a0，即3a0是

4a0的一个充分不必要条件；

选项D中4a0推不出4a0，且4a0可推出4a0，即4a0是

4a0的一个必要不充分条件.

故选：C.

5．下列说法中正确的是（ ） A．函数的定义域和值域一定是无限集

B．函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应 C．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 【答案】D

【分析】根据函数的定义以及值域、定义域的定义，可得答案.

【详解】函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误．对于定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一的数y和它对应，反之则不然，故B错误，D正确，C显然错误． 故选：D.

6．关于x的不等式ax2bxc0的解集为3,1，则不等式bx2axc0的解集为（ ） A．1,2?

B．1,2

1C．,1

23D．,1

2第 2 页 共 13 页

【答案】D

a0b【解析】首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系31，

ac31a得到a,b,c的关系，代入不等式化简求解.

a0b2【详解】axbxc0的解集是3,1，31，得b2a,c3a，

ac31a则不等式bx2axc02ax2ax3a0， 3即2x2x30，解得：x1，

23所以不等式的解集是,1.

2故选：D

2x27．函数y的值域是（ ）

2x2A．(1，1] 【答案】A

B．(1,1) C．[1，1] D．(2,2)

【分析】把已知函数解析式变形，由x2+2≥2 可得

2x22x2441【详解】因为y， 222x2x2x22x22，01的范围，进一步求得函数值域. x2211， 2x22则042， 2x24 2x2112x2所以函数y的值域是1,1

2x2故选：A.

8．对于非空数集M，定义fM表示该集合中所有元素的和．给定集合S定义集合TfAAS,A，则集合T中元素的个数是（ ） A．集合T中有1个元素 C．集合T中有11个元素

B．集合T中有10个元素 D．集合T中有15个元素

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1,2,3,4，

【答案】B

【分析】对A的情况分别列出来，计算fA的取值情况，最后得出T集合的元素个数. 【详解】1.当A为单元集合时，集合A可取1,2,3,4，fA可取1,2,3,4;

，2,13，4，3,2，4，， 2.当A中的元素个数为2时，集合A可取1,1，2，34，fA可

取3,4,5,6,7；

，2，3,13，，4,1，2，4，3，4，fA可取3.当A中的元素个数为3时，集合A可取12，6,7,8,9；

4.当AS时,fA10.

综上所述，T1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.集合T中有10个元素. 故选:B.

二、多选题

9．以下各组函数中，表示同一函数的有（ ） A．fxx2，g(x)3x3 C．yx0，y【答案】CD

【分析】两个函数是同一函数的判断：1.看定义域；2.看对应法则.

【详解】对于选项A，fxx2x，g(x)3x3x，对应法则不同，故不是同一函数，选项A错误；

对于选项B，f(x)xx1的定义域为0,，g(x)x2x的定义域为1 x0B．fxxx1，gxx2x D．yx2与yx2x2

2,10,，定义域不相同，故不是同一函数，选项B错误；

对于选项C，yx01的定义域为,00,，y11的定义域为x0,00,，故是同一函数，选项C正确；

对于选项D，y(x2)2x2(x2)与yx2x2的定义域和对应法则均相同，故是同一函数．选项D正确； 故选：CD．

10．下列结论错误的是（ ）

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2A．若函数yaxbxca0对应的方程没有根，则不等式ax2bxc0的解集为

R；

2B．不等式axbxc0a0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0；

C．若关于x的不等式ax2x10的解集为R，则a≤D．不等式

11的解为x1. x1； 4【答案】AD

【分析】根据一元二次不等式与对应二次函数的关系，结合各选项的描述判断A、B、C正误即可，对于D将不等式化为

1x0求解集即可. x【详解】A：函数不存在零点，若a0则解集为R，若a0则解集为空集，错误； B：由不等式对应的二次函数图像开口向下，说明a0且至多与x轴有一个交点，故

Δb24ac0，正确；

a0C：当a0时x1，显然不符合题意，当a0时由二次函数的性质知：，

14a01解得a≤，正确；

411x0，解得0x1，错误； D：1xx故选：AD

11．已知x，y是正实数，则下列选项正确的是（ ） 12A．若xy2，则有最小值3

xyB．若xy3，则x(y1)有最大值5 C．若4xy1，则2xy有最大值2 xy21有最小值2 D．4xy【答案】CD

12121【分析】对A，根据xy，再利用基本不等式可判断；对B，根据

xy2xyxy1xy1判断即可；对C，根据2xy2224xy4xy，结合基本不

等式判断即可；对D，根据基本不等式，结合两次不等式取等号的条件判断即可. 【详解】对于A，x0，y0，xy2，

1x12121y2xxy3 y2xyxy2第 5 页 共 13 页

xy2111y2x3x222322y2x，当且仅当，即时取等号，则有2xy2xyxy422y3最小值2，故A错误；

2对于B，xxy10，y0，xy3，xy14xy14，

22xy3当且仅当，即x2,y1时取等号，则xy1有最大值4，故B错误；

xy1对于C，x0，y0，4xy1，2x2y24xy4xy122xy

12xy214xy2，02xy2 114xy1当且仅当，即x,y时取等号，则则2xy有最大值2，故C正

822xy确； 对于D，xxy21xy21110，y0，2y2y2，当且仅当

4xy4xyyyxy24x，即x2,y1时取等号，故D正确； 1yy故选：CD

1,x为有理数12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数yDx，

0,x为无理数该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题，其中真命题的序号为（ ）

A．DDx0；

B．对任意xR，恒有DxDx成立；

C．任取一个不为零的有理数T，DxTDx对任意实数x均成立；

D．存在三个点Ax1,Dx1，Bx2,Dx2，Cx3,Dx3，使得ABC为等边三角形； 【答案】BCD

【分析】根据函数性质直接判断即可.

【详解】A选项：若x为有理数，则Dx1为有理数，DDx1，若x为无理数，

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则Dx0为有理数，DDx1，A选项错误；

B选项：若x为有理数，则x为有理数，DxDx1，若x为无理数，则x为无理数，DxDx0，B选项正确；

C选项：若x为有理数，则xT为有理数，DxTDx1，若x为无理数，则xT为无理数，DxTDx0，C选项正确；

33x,0Cx,0D选项：对任意有理数x，存在三个点Ax,1，B，是边长为3323的等边三角形的三个顶点，D选项正确； 3故选：BCD.

三、填空题

∣60k360,kZ，B60k720,kZ，13．集合AC|60k180,kZ．那么集合A，B，C之间的关系是_________．

【答案】BAC

【分析】将各个角转化为60k180,kZ，根据k的不同，简单判断即可. 【详解】

A|60k360,kZ|602n180,nZB|60k720,kZ|604n180,nZ，

C|60n180,nZ，∴BAC．

故答案为：BAC

【点睛】本题考查集合之间的包含关系，本题关键在于转化为同一种形式，属基础题. 14．若2xy2且1xy1，则z4x2y的最大值是____________． 【答案】7

【分析】把z4x2y表达为xy与xy的线性关系，结合2xy2与1xy1求出最大值.

a3ab4 【详解】4x2yaxybxyabxaby，则，解得：b1ab2第 7 页 共 13 页

即4x2y3xyxy，因为2xy2且1xy1，所以63xy6，故73xyxy7，故z4x2y的最大值为7 故答案为：7

15．已知函数f(x2)的定义域为0,2，则函数f(2x1)的定义域为________________ 11【答案】,

22【分析】先由题意求出函数fx的定义域为2,0，再由22x10求解，即可得出结果.

【详解】因为函数fx2的定义域为0,2， 所以2x20；即函数fx的定义域为2,0； 由22x10，解得x121， 211因此f2x1的定义域为,.

2211故答案为：,.

2216．关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是___________. 【答案】(5,8]

【分析】根据二次函数图象的对称性可得出不等式x26xa0的解集中的整数，可得出关于实数a的不等式组，即求.

【详解】因为yx26xa的大概图象如图：

若关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数， 因为对称轴为x3，

2262a0则2，解得5a8.

161a0所以a的取值范围是(5,8]. 故答案为：(5,8].

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四、解答题

17．设函数f(x)2x1的定义域为集合A，集合4xB{x∣m1x2m1}(m2) ． (1)求函数f(x)的定义域A；

(2)若p：xA，q：xB，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)Ax2x4 5(2)2, 2

【分析】（1）只要二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得答案；

（2）由题意可得BA，然后分B和B两种情况求解即可.

2x0,fx(1) 【详解】要使得函数有意义，只需要4x0,解得2x4，

所以集合Ax2x4

(2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA， 当B时，m12m1，且m2，解得m ， m12m1,5当B时，m12,且m2，解得2m，

22m14,5综上可知，实数m的取值范围是2,.

218．完成下列问题：

2(1)已知f2x14x3，求f(x)．

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)． 【答案】(1)f(x)x22x4 (2)fx2x7

【分析】（1）由题意，根据换元法，可得答案；

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（2）由题意，利用待定系数法，可得答案.

2t1t1【详解】(1)令t2x1，则x，ft43t22t4；所以22f(x)x22x4．

(2)设fxkxb，依题意3f(x1)2f(x1)2x17，

即3kx1b2kx1b2x17，3kx13b2kx12b2x17，

k2k2kx5kb2x17，故，解得，

5kb17b7所以fx2x7．

22219．若集合Axx5x60，Bxx2m1xm30．

(1)若m0，写出AB的子集个数； (2)若ABB，求实数m的取值范围． 【答案】(1)8个 (2)m|m2

【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集的个数；

（2）由ABB，得到BA，分B中没有元素即B，B中只有一个元素和B中有两个元素求解.

2【详解】(1)解：Axx5x606,1，

2若m0，则Bxx2x303,1，此时AB6,1,3， ．

AB有3个元素，故子集个数为23个，即8个． (2)因为ABB，所以BA， ．

①若B中没有元素即B，则4m14m238m160，此时

2m2； ．

②若B中只有一个元素，则0，此时m2．

2则Bx|x2x101，此时BA．

③若B中有两个元素，则0，此时m2．

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因为A中也有两个元素，且BA，则必有BA6,1， 由韦达定理得61m23，则m23，矛盾，故舍去． 综上所述，当m2时，BA． 所以实数m的取值范围：m|m2． 【点睛】．

20．为响应国家扩大内需的，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t0）万元满足

x4k.如果不搞促销活动，（k为常数）则该产品的年销量只能是1万件.已知2016

2t1年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）.

（1）求常数k，并将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 【答案】（1）k3，y27润最大.

【分析】（1）已知该产品的年销量x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x418tt0；（2）年促销费用投入2.5万元时，厂家利2t1k，2t1因此将当t0时，x1代入，求出k即可得到该产品的利润y万元关于年促销费用t万元的函数；

9181t27.5t，再利用基本不等式，求解厂家（2）化简函数y27122t1t2的利润最大值.

【详解】（1）由题意，当t0时，x1，代入x4x43， 2t1612x318x612xt36xt364tt0． t27x2t12t1kk中，得14，得k3 故

12t1y1.59181t27.5t （2）由（1）知：y27122t1t2第 11 页 共 13 页

91911tt2t6由基本不等式12， 当且仅当12，即t2.5时12ttt2229等号成立，

9181t27.5t27.5621.5 ． 故y27122t1t2答：该厂家2016年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大． 21．已知函数f(x)x2(a3)x6(aR) (1)解关于x的不等式f(x)63a；

(2)若对任意的x[1,4]，f(x)a50恒成立，求实数a的取值范围

(3)已知g(x)mx73m，当a1时，若对任意的x1[1,4]，总存在x2[1,4]，使

fx1gx2成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)当a3时，解集为xax3，当a3时，解集为x3xa； (2)(,5]；

5(3)(,5],.

2

【分析】（1）由不等式f(x)63a转化为(x3)(xa)0，分a3，a3，a3讨论求解；（2）将对任意的x[1,4]，f(x)a50恒成立，转化为对任意的x[1,4]，

a(x1)x23x11恒成立，当x1，恒成立，当x(1,4]时，a(x1)成立，利用基本不等式求解；

91恒x1（3）分析可知函数fx在区间1,4上的值域是函数gx在区间1,4上的值域的子集，分m0、m0、m0三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数m的不等式组，综合可得出实数m的取值范围.

【详解】(1)因为函数f(x)x2(a3)x6(aR)，

所以f(x)63a，即为x2(a3)x3a0，所以(x3)(xa)0，

当a3时，解得ax3，当a3时，解得x3，当a3时，解得3xa， 综上，当a3时，不等式的解集为xax3，当a3时，不等式的解集为x3xa (2)因为对任意的x[1,4],f(x)a50恒成立，所以对任意的x[1,4]，

a(x1)x23x11恒成立，

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当x1时，09恒成立，

91恒成立， x199912(x1)15，当且仅当x1令(x1)，即x4时取等号，

x1x1x1所以对任意的x(1,4]时，a(x1)所以a5，所以实数a的取值范围是(,5]

(3)当a1时，f(x)x24x6，因为x[1,4]，所以函数f(x)的值域是[2,6]， 因为对任意的x1[1,4]，总存在x2[1,4]，使fx1gx2成立， 所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集，

m05当m0时，g(x)[72m,m7]，则72m2，解得m

2m76m0当m0时，g(x)[m7,72m]，则72m6，解得m5，

m72当m0时，g(x){7}，不成立；

5综上，实数m的取值范围(,5],.

2

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