高等数学第五章定积分试题

第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limk1nk用定积分表示可表示成 。

nnn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

sinxdx= ，sinxdx= 。

aaa2x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。（ ） 三．单项选择题。 1． 定积分（A）、（C）

baf(x)dx表示和式的极限是 。

balimnnnk1knkf((ba))n （B）、

balimnnf(k1nk1(ba))n

limf(nk1)xk（i为xi中任一点）

（max{xi}，i为xi中任一点）

1inn（D）、

f(limk1nk)xk2．定积分

baf(x)dx=

limk1f(k)x表明

k（A）、[a,b]必须n等分,

k是[xk-1,xk]的端点。 必是[xk-1,xk]的端点。

（B）、[a,b]可以任意分,

k（C）、[a,b]可以任意分, max{xk}，k可在[xk-1,xk]上任取。

1kn（D）、[a,b]必须等分, max{xk}，k可在[xk-1,xk]上任取

1kn四．利用定积分定义计算

baxdx (ab)

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 63

§5—2 定积分的性质 中值定理

一、判断题

1．若函数f(x)在[a,b]上连续，且

baf(x)2dx0则在[a,b]上f(x)0 （ ）

2．若f(x),g(x)在[a,b]上可积且f(x)baf(x)dxg(x)dx （ ）

ab3．若函数f(x)在[a,b]上可积且[c,d] [a,b] 则

dcf(x)dxf(x)dx （ ）

ab4．若函数f(x)在[a,b]上可积，则至少有一点[a,b],使bf()(ba) （ ）

a5．不等式 3291xarctanxdx3 成立。 （ 3二、单选题

a) 积分中值定理

baf(x)dxf()(ba)中是[a,b]上 （A）任意一点 （B）必存在的某一点 （C）唯一的某点 （D）中点 b) 设 Ix1=

xelntdt I2=elnt2dt（x>0）。则

（A）仅当x>e时I1(C) 仅当xc) I=nlimnanxsin1xdx（a为常数）积分中值定理limnasin1 (A) limnasin1211asina (B) limnasin0

(C) limnasin1a ( D) lim1nasin

三、比较下列积分的大小。 1．1x0edx与10(1x)dx 2.40sinxdx与40cosxdx

四、估计积分20ex2xdx的值。

） 专业 班级 姓名 学号 成绩 时间

五、证明：若函数f(x)在[a,b]上连续，非负，且f(x)0 则

六、设函数f(x)在[a,b]上连续，证明：

bbb22 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

aaa2baf(x)dx0

七、设函数f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且f(0)=3

123f(x)dx

证明：在（0，1）内至少存在一点C，使f(c)0

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 65

§5.3 微积分基本公式

一、填空题

d2dx2sinxdx= 。2．1．sint2dt 。 dx0dx0dx2d23． 。4．sintdtdx0dx25．limx0sint2dt 。

x20sintdtx3x0 。6．lim12arctantdt0xxx12 。

dxdx27．=- 。8。= 。 xtsintdtxdx001e9．

20x20x1f(x)dx 。其中f(x)=

2x1x210. 函数f(x) =2x2+3x+3 在 [1，4] 上的平均值为 。 二． 判断题

dx1．(xt)2dt0 ( ) adxx332. costdtcosx1 ( )

03.若函数f(x)在[a,b]上连续，则F(x)=4．

xaf(t)dt 在[a,b]上可导。 （ ）

001cos2xdx02cos2xdx2cosxdx2sinx

0=0 ( )

sin2(ex1)(x0)xe15．函数f(x)=2(x0) 在R上处处连续 （ ）

1x2cost2dt(x0)x0三．单项选择题

1． 设f(x)为连续函数，且F(x)=

lnx1xf(t)dt，则F(x)等于

1111f(x)+2f() (B) f(lnx)f() xxxx1111f(lnx)2f() (D) f(lnx)f() (C) xxxx （A）

x2xf(t)dt，其中f(x)为连续函数，则limF(x)等于 2． 设F(x)=

xaxaa

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 66

2 （A）a (B) af(a) (C) 0 (D) 不存在

21(0xb)cos2x3． f(x)=且2f(x)dx2则b= 01(bx)2sin2x (A)

 (B) (C) (D) 2346xy1四．设yf(x)由方程 x

五.计算下列定积分 1．

etdt0 确定，求曲线yf(x)在x=0处的切线。

221(x1x)2dx 2.

30dx 21x3.

401ex(x0)tan4xdx 4. 设f(x)=求f(x)dx

cosx(x0)25.

20max{sinx,cosx}dx 6.

201sin2xdx

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 67

四、 设 f(x)=xx

220f(x)dx2f(x)dx, 求 f(x)

011t2五．求a,b的值，使 limdt1

x0bxsinxat0

x1xsinx0x六．设f(x)=2 求F(x)=f(t)at在(,)内的表达式.

0x0或x1

七． 设f(x)为连续函数,证明:

txf(u)dudt000f(t)(xt)dt x 专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 68

§5.4 定积分的换元法

一、填空题

1．若函数f(x)在[a,a]上连续，则2．设f(x)连续，则

aa[f(x)f(x)]dx 。

baf(2x)dx 。

dx3．cos(tx)dt 。

dx04．

33(x34)9x2dx 。

5．设f(x)是以T为周期的连续函数，且二、判断题

1．若f(x)为(,)上的连续函数，且2．由于I=

2T0f(x)dx1,则x12002T1f(x)dx= 。

xxf(t)dt2f(t)dt则f(x)必为偶函数。（ ）

0dx11dt令xI I0 ( ) 211x21t1t11221113

1xxdxxxdxxxdx0x2dx （ ）

1三、单项选择题

1． 定积分

122112exdx的值是 x12（A）e (B) ee (C) 1 （D）不存在 2． I=(A)

a0x3f(x2)dx （a0）,则I=

a0a20xf(x)dx (B)1a21xf(x)dx (C) xf(x)dx (D)

202a0xf(x)dx

四、计算下列定积分 1．

1dx223． 4.(x2x)dx 212x2x2e3dxx1lnx1 2.

20sin2xcos5xdx

0

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 69

21x(x0)35．设f(x)求f(x2)dx.

x1e(x0)

五、证明：

20sindcosdsind2，并利用结果计算2之值。 0sincos0sincossincos六、设函数f(x)为[a,a]上连续的偶函数。求证：

xe4 并利用结果计算2sinxdx 1ex2af(x)dxa1ex0f(x)dx a

x七．设函数f(x)在(,)内连续、可导，且F(x)(x2t)f(t)dt，证明：

0（1）若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数； （2）若f(x)0，则F(x)在(,)内单调增加。

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 70

§5.5 定积分的分部积分法

一、判断题

11．若f(x)连续，则xf(2x)dxxdf(2x)xf(2x)0f(2x)dx ( )

0001112．

1xlnxdxxlnxeee1e1xee1lne11dxee(1lne) （ ） xeee二、填空题

1．2．

20sin7xdx 。

sin10xdx 。

03．F（x）=

x0tetdt有极值，则当x= 时，取极小值 。

b2三、单项选择题

1．f(x)在[a,b]上连续，则xf(x)dx= . a（A）[af(a)f(a)][bf(b)f(b)] (B) [bf(b)f(b)][af(a)f(a)] (C) [bf(b)f(b)][af(a)f(a)] (D) [af(a)f(a)][bf(b)f(b) 2．

21xlog2xdx x2（A）2log2x2（C）2log212x2x142x2x1ln221x2 （B）2log2212ln222x1(4x)1 2x2x14ln221x2 （D）2log2

四、计算下列定积分 1． 3．

0xarcsinxdx 2.

20e2xcosxdx

101x2arctanxdx 4.1ex2122x1dx

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 71

x5．3dx 6. 2sinx4

五．设f(x)

20xsinxdx

1cosxx1etdt，求f(x)dx

021六．若f(x)在[0,]上连续，且f(0)2,f()1证明：

七．计算Im=

f(x)f(x)sinxdx3

00xsinmxdx (m为自然数)

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 72

§5.6定积分的近似计算

一、用三种积分近似计算方法,计算

2dx 以求ln2的近似值。（取n=10被积函数值取四1x位小数）

§5.7广义积分

一、判断题

1．因为sinx为奇函数，所以

sinxdx0 （ 2．2x1x2dxalima2xa1x2dx0 （ 3．

4dx140(x3)2x3043 （二、填空题 1．若Adx1x21，则A= 。

2．

dx2(x1)p，当p 时收敛，当p 时发散。 3．

2dx1(x1)p， 当p 时收敛，当p 时发散。 4．，

dx2x(lnx)p 当p 时收敛，当p 时发散。三、单项选择题

1．以下各积分不属于广义积分的是 。

（A）、

ln(1x)dx （B）、1sinx00xdx （C）、1dx0dx1x2 （D）、31x

）

）

）

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 73

2. 已知广义积分

ekxdx=1，则k= 。

（A）、1 （B）、1 （C）、2 （D）、2

223．

bdxbxadx （其中ab）是 。

（A）、发散 （B）、收敛于1(ba)2

2 （C）、收敛于2(ba)2 （D）、收敛于(ba) 四、判断下列广义积分的收敛性，若收敛，计算其值。

dxktpt1． 2。eedx （pk） 20x2x212 3.

1xdx1x20 4.

edxx1(lnx)21

1x2e(x0)五、设函数f(x)=1(0x2) ，求：F（x）=

40x2

xf(t)dx

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 74

第五章自测题一

一、填空题

dsinx21．设函数f(x)在(,)上连续，则f(t)dt 。 3xdx2．设函数f(x)在[0,4]上连续，且3．

x221f(t)dtx3，则f(2)= 。

e3dx1lnx1 。

4．

1dxdx 。

x(x21)5．

0sin10xdx 。

2sinx(x43x21)6．cosxdx 。 21x1p2pnp(p0) 。 7．limp1nndx328．2sintdt 。

dx0dx229．sin(xt)dt= 。 0dx10．函数f(x)=xex二、单项选择题 1．limx10f(x)dt 则f(1)= 。

211 nn1n2nn2（A）0 （B）2 （C）ln2 （D）e

dx2．若函数f(x)=sin(tx)dx，则f(x)等于

dx0（A）、sinx (B)、1cosx （C）、sinx (D)、0.

3．定积分

22(xx)edx的值是 。

2x（A）、0 （B）、2 （C）、2e2 (D)、4．设f(u)连续，且

6 2e20xf(x)dx0，若kxf(2x)dxxf(x)dx，则k= .

0012(A)、1/4 （B）、1 （C）、2 （D）、4 5．若连续函数f(x)满足关系f(x)=

2x0tf()dt+ln2，则f(x)= 。 2

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 75

（A）、eln2 (B)、x三、计算下列积分。 1．3．

22xln2 (C)、e2ln21 (D)、e2xln21

420x34x2dx 2.

1xxdx

1212bxarcsinx1x2dx 3.2(xcos3x)dx

25．

axdx 6.21sin2xdx

0四、已知函数f(x)在 x=12 的邻域内可导，且limf(x)0,limf(x)997，求：

x12x12[ lim12x12x12ttf(u)du]dt3(12x)。

xx五、设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0,F(x)=

af(t)dtbdt(x[a,b])，证明： f(t) （1）.F(x)2. (2).方程F(x)0在区间（a,b)内有且只有一个根。

x六、证明方程 lnx=1cos2xdx,在区间（0，+）内有且仅有两个不同的根。

e0七、求函数f(x)=

x0tetdt的极值和它的图形的拐点。

mm八、证明：

20sinxcosxdx2m20cosmxdx。

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 76

第五章自测题二

一、填空题 1．lim(n1n121n221nn2) 。

2．如果函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值分别为M与m，则

baf(x)dx有如下估计式:

af(x)dx 。

3．设m为奇数，则

b0sin2xdx= 。

4．

20(0x1)x2f(x)dx= 。其中f(x)=

(1x2)2x5．比较积分大小

20sin3xdx

20sin2xdx

d6．2dx1．2．

x30sint2dt

二、判断题

x4sinxdx0 （ ）

1ee1eblnxdx1(lnx)dx(lnx)dx （ ）

e13．4．

af(x)dxf(t)dtf(u)du （ ）

aabbba0dxaaf(x)dx0 （ ）

5．由于被积函数为奇函数，因此有三、选择题

x1x2dx0 ( )

dsinx21．1tdt

dx0（A）cosx （B）cosx （C）-cos2x （D）cosxcosx 2．设(x)在[a,b]上连续，且(b)a (a)b则(x)(x)dx

ab（A）ab （B）

1cosx1121222(ab) （C）(ab) （D）(ab) 2223．设f(x)=

0x6x7sintdt g(x)=,当x0时，f(x)比g(x)是 无穷小

672（A）低阶 （B）高阶 （C）同阶不等价 （D）等价

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 77

4. f(x)=lim1242n(x)(x)(x) nnnnn (A) x1 (B)

1x1 (C)2x1 (D)2x2 225．设连续函数f(x)满足：f(x)= xx(A)

10f(x)dx则f(x)=

3333xx2 (B)x+x2 (C)xx2 (D)x+x2 4242dxln2exex 2.

ln3四、计算下列积分 1．

3dxxx121

3．

201sin2xdx 4.

x41sinxdx

4五、求连续函数f(x)满足：

10f(tx)dtf(x)xarctanx

2x2(1cosx)(x0)六、设f（x）=1(x0)试讨论f(x)在x=0处的连续性与可导性

1xcost2dt(x0)x0七。设f(x)在a,b]上二阶连续可导，f(x)0，求证：

baf(x)dx(ba)f(ab) 2八．设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，求证： 存在(a,b)使得 f()ag(x)dxg()f(x)dx

b