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工程问题

1． 甲乙两个水管单独开， 注满一池水， 分别需要 20 小时， 16 小时.丙水管单独开， 排一池水要 10 小时，若水池没水， 同步打开甲乙两水管， 5 小时后， 再打开排水管丙， 问水池注满还是要多少小时？解：

1/20+1/16＝9/80 表达甲乙工作效率

9/80×5＝45/80 表达 5 小时后进水量

1-45/80＝35/80 表达还要进水量

35/80÷（9/80-1/10） ＝35 表达还要 35 小时注满

答： 5 小时后还要 35 小时就能将水池注满。

2． 修一条水渠， 单独修， 甲队需要 20 天完毕， 乙队需要 30 天完毕。 如果两队合伙， 由于彼此施工有影响， 她们工作效率就要减少， 甲队工作效率是本来五分之四， 乙队工作效率只有本来十分之九。 当前筹划16 天修完这条水渠， 且规定两队合伙天数尽量少， 那么两队要合伙几天？

解： 由题意得， 甲工效为 1/20， 乙工效为 1/30， 甲乙合伙工效为 1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100， 可知甲乙合伙工效>甲工效>乙工效。

又由于， 规定“两队合伙天数尽量少”， 因此应当让做快甲多做， 16 天内实在来不及才应当让甲乙合伙完毕。只有这样才干“两队合伙天数尽量少”。

设合伙时间为 x 天， 则甲独做时间为（16-x） 天

1/20*（16-x） +7/100*x＝1

x＝10

答： 甲乙最短合伙 10 天

3． 一件工作， 甲、 乙合做需 4 小时完毕， 乙、 丙合做需 5 小时完毕。 当前先请甲、 丙合做 2 小时后， 余下乙还需做 6 小时完毕。 乙单独做完这件工作要多少小时？

解：

由题意知， 1/4 表达甲乙合伙 1 小时工作量， 1/5 表达乙丙合伙 1 小时工作量（1/4+1/5） ×2＝9/10 表达甲做了 2 小时、 乙做了 4 小时、 丙做了 2 小时工作量。依照“甲、 丙合做 2 小时后， 余下乙还需做 6 小时完毕”可知甲做 2 小时、 乙做 6 小时、 丙做 2 小时一共工作量为 1。

因此 1－9/10＝1/10 表达乙做 6-4＝2 小时工作量。

1/10÷2＝1/20 表达乙工作效率。

1÷1/20＝20 小时表达乙单独完毕需要 20 小时。

答： 乙单独完毕需要 20 小时。

4． 一项工程， 第一天甲做， 第二天乙做， 第三天甲做， 第四天乙做， 这样交替轮流做， 那么正好用整数天竣工； 如果第一天乙做， 第二天甲做， 第三天乙做， 第四天甲做， 这样交替轮流做， 那么竣工时间要比前一种多半天。 已知乙单独做这项工程需 17 天完毕， 甲单独做这项工程要多少天完毕？

解： 由题意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1

1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1

（1/甲表达甲工作效率、 1/乙表达乙工作效率， 最后结束必要如上所示， 否则第二种做法就不比第一种多0.5 天）

1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（由于前面工作量都相等）

得到 1/甲＝1/乙×2

又由于 1/乙＝1/17

因此 1/甲＝2/17， 甲等于 17÷2＝8.5 天

5． 师徒俩人加工同样多零件。 当师傅完毕了 1/2 时， 徒弟完毕了 120 个。 当师傅完毕了任务时， 徒弟完毕了 4/5 这批零件共有多少个？

答案为 300 个

120÷（4/5÷2） ＝300 个

可以这样想： 师傅第一次完毕了 1/2， 第二次也是 1/2， 两次一共所有竣工， 那么徒弟第二次后共完毕了 4/5，可以推算出第一次完毕了 4/5 一半是 2/5， 刚好是 120 个。

6． 一批树苗， 如果分给男女生栽， 平均每人栽 6 棵； 如果单份给女生栽， 平均每人栽 10 棵。 单份给男生栽， 平均每人栽几棵？

答案是 15 棵

算式： 1÷（1/6-1/10） ＝15 棵

7． 一种池上装有 3 根水管。 甲管为进水管， 乙管为出水管， 20 分钟可将满池水放完， 丙管也是出水管，30 分钟可将满池水放完。 当前先打开甲管， 当水池水刚溢出时， 打开乙,丙两管用了 18 分钟放完， 当打开甲管注满水是， 再打开乙管， 而不开丙管， 多少分钟将水放完？

答案 45 分钟。

1÷（1/20+1/30） ＝12 表达乙丙合伙将满池水放完需要分钟数。

1/12*（18-12） ＝1/12*6＝1/2 表达乙丙合伙将漫池水放完后， 还多放了 6 分钟水， 也就是甲 18 分钟进水。

1/2÷18＝1/36 表达甲每分钟进水

最后就是 1÷（1/20-1/36） ＝45 分钟。

8． 某工程队需要在规定日期内完毕， 若由甲队去做， 正好如期完毕， 若乙队去做， 要超过规定日期三天完毕， 若先由甲乙合伙二天， 再由乙队单独做， 正好如期完毕， 问规定日期为几天？

答案为 6 天

解：

由“若乙队去做， 要超过规定日期三天完毕， 若先由甲乙合伙二天， 再由乙队单独做， 正好如期完毕， ”可

知：

乙做 3 天工作量＝甲 2 天工作量

即： 甲乙工作效率比是 3： 2

甲、 乙分别做所有工作时间比是 2： 3

时间比差是 1 份

实际时间差是 3 天

因此 3÷（3-2） ×2＝6 天， 就是甲时间， 也就是规定日期

方程办法：

[1/x+1/（x+2） ]×2+1/（x+2） ×（x-2） ＝1

解得 x＝6

9． 两根同样长蜡烛， 点完一根粗蜡烛要 2 小时， 而点完一根细蜡烛要 1 小时， 一天晚上停电， 小芳同步点燃了这两根蜡烛看书， 若干分钟日后点了， 小芳将两支蜡烛同步熄灭， 发现粗蜡烛长是细蜡烛 2 倍， 问：

停电多少分钟？

答案为 40 分钟。

解： 设停电了 x 分钟

依照题意列方程

1-1/120*x＝（1-1/60*x） *2

解得 x＝40

二． 鸡兔同笼问题

1． 鸡与兔共 100 只,鸡腿数比兔腿数少 28 条,问鸡与兔各有几只?

解：

4*100＝400， 400-0＝400 假设都是兔子， 一共有 400 只兔子脚， 那么鸡脚为 0 只， 鸡脚比兔子脚少 400只。

400-28＝372 实际鸡脚数比兔子脚数只少 28 只， 相差 372 只， 这是为什么？

4+2＝6 这是由于只要将一只兔子换成一只鸡， 兔子总脚数就会减少 4 只（从 400 只变为 396 只）， 鸡总脚数就会增长 2 只（从 0 只到 2 只）， 它们相差数就会少 4+2＝6 只（也就是本来相差数是 400-0＝400， 当前相差数为 396-2＝394， 相差数少了 400-394＝6）

372÷6＝62 表达鸡只数， 也就是说由于假设中 100 只兔子中有 62 只改为了鸡， 因此脚相差数从 400 改为28， 一共改了 372 只

100-62＝38 表达兔只数

三． 数字数位问题

1． 把 1 至这个自然数依次写下来得到一种多位数.....,这个多位数除以 9 余数是多少?

解：

一方面研究能被 9 整除数特点： 如果各个数位上数字之和能被 9 整除， 那么这个数也能被 9 整除； 如果各个位数字之和不能被 9 整除， 那么得余数就是这个数除以 9 得余数。

解题： 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45； 45 能被 9 整除

依次类推： 1~1999 这些数个位上数字之和可以被 9 整除10~19 ， 20~29……90~99 这 些 数 中 十 位 上 数 字 都 浮 现 了 10 次 ， 那 么 十 位 上 数 字 之 和 就 是10+20+30+……+90=450 它有能被 9 整除

同样道理， 100~900 百位上数字之和为 4500 同样被 9 整除

也就是说 1~999 这些持续自然数各个位上数字之和可以被 9 整除；

同样道理： 1000~1999 这些持续自然数中百位、 十位、 个位 上数字之和可以被 9 整除（这里千位上“1”还没考虑， 同步这里咱们少,从 1000~1999 千位上一共 999 个“1”和是 999， 也能整除；

各位数字之和是 27， 也刚好整除。

最后答案为余数为 0。

2． A 和 B 是不大于 100 两个非零不同自然数。 求 A+B 分之 A-B 最小值...

解：

(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)

前面 1 不会变了， 只需求背面最小值， 此时 (A-B)/(A+B) 最大。

对于 B / (A+B) 取最小时， (A+B)/B 取最大，

问题转化为求 (A+B)/B 最大值。

(A+B)/B = 1 + A/B ， 最大也许性是 A/B = 99/1

(A+B)/B = 100

(A-B)/(A+B) 最大值是： 98 / 100

3． 已知 A.B.C 都是非 0 自然数,A/2 + B/4 + C/16 近似值市 6.4,那么它精确值是多少?

答案为 6.375 或 6.4375

由于 A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，

因此 8A+4B+C≈102.4， 由于 A、 B、 C 为非 0 自然数， 因而 8A+4B+C 为一种整数， 也许是 102， 也有也许是 103。

当是 102 时， 102/16＝6.375

当是 103 时， 103/16＝6.4375

4． 一种三位数各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1.如果把这个三位数百位数字与个位数字对调,得到一种新三位数,则新三位数比原三位数大 198,求原数.

答案为 476

解： 设原数个位为 a， 则十位为 a+1， 百位为 16-2a依照题意列方程 100a+10a+16-2a－100（16-2a） -10a-a＝198

解得 a＝6， 则 a+1＝7 16-2a＝4

答： 原数为 476。

5． 一种两位数,在它前面写上 3,所构成三位数比原两位数 7 倍多 24,求本来两位数.

答案为 24

解： 设该两位数为 a， 则该三位数为 300+a

7a+24＝300+a

a＝24

答： 该两位数为 24。

6． 把一种两位数个位数字与十位数字互换后得到一种新数,它与原数相加,和正好是某自然数平方,这个和是多少?

答案为 121

解： 设原两位数为 10a+b， 则新两位数为 10b+a

它们和就是 10a+b+10b+a＝11（a+b）

由于这个和是一种平方数， 可以拟定 a+b＝11

因而这个和就是 11×11＝121

答： 它们和为 121。

7． 一种六位数末位数字是 2,如果把 2 移到首位,原数就是新数 3 倍,求原数.

答案为 85714

解： 设原六位数为 abcde2， 则新六位数为 2abcde（字母上无法加横线， 请将整个当作一种六位数）再设 abcde（五位数） 为 x， 则原六位数就是 10x+2， 新六位数就是 00+x依照题意得， （00+x） ×3＝10x+2

解得 x＝85714

因此原数就是 857142

答： 原数为 857142

8． 有一种四位数,个位数字与百位数字和是 12,十位数字与千位数字和是 9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增长 2376,求原数.

答案为 3963

解： 设原四位数为 abcd， 则新数为 cdab， 且 d+b＝12， a+c＝9

依照“新数就比原数增长 2376”可知 abcd+2376=cdab,列竖式便于观测

abcd

2376

cdab

依照 d+b＝12， 可知 d、 b 也许是 3、 9； 4、 8； 5、 7； 6、 6。

再观测竖式中个位， 便可以懂得只有当 d＝3， b＝9； 或 d＝8， b＝4 时成立。

先取 d＝3， b＝9 代入竖式百位， 可以拟定十位上有进位。

依照 a+c＝9， 可知 a、 c 也许是 1、 8； 2、 7； 3、 6； 4、 5。

再观测竖式中十位， 便可知只有当 c＝6， a＝3 时成立。

再代入竖式千位， 成立。

得到： abcd＝3963

再取 d＝8， b＝4 代入竖式十位， 无法找到竖式十位适当数， 因此不成立。

9． 有一种两位数,如果用它去除以个位数字,商为 9 余数为 6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为 5 余数为 3,求这个两位数.

解： 设这个两位数为 ab

10a+b＝9b+6

10a+b＝5（a+b） +3

化简得到同样： 5a+4b＝3

由于 a、 b 均为一位整数

得到 a＝3 或 7， b＝3 或 8

原数为 33 或 78 均可以

10． 如果当前是上午 10 点 21 分,那么在通过 28799...99(一共有 20 个 9)分钟之后时间将是几点几分?

答案是 10： 20

解：

（28799……9（20 个 9） +1） /60/24 整除， 表达正好过了整数天， 时间依然还是 10： 21， 由于事先计算时加了 1 分钟， 因此当前时间是 10： 20

四． 排列组合问题

1． 有五对夫妇围成一圈， 使每一对夫妇夫妻二人动相邻排法有（ ）

A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 210 次方中

解：

依照乘法原理， 分两步：

第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体， 进行排列有 5×4×3×2×1＝120 种不同排法， 但是由于是围成一种首尾相接圈， 就会产生 5 个 5 个重复， 因而实际排法只有 120÷5＝24 种。

第二步每一对夫妻之间又可以互相换位置， 也就是说每一对夫妻均有 2 种排法， 总共又 2×2×2×2×2＝32 种综合两步， 就有 24×32＝768 种。

2 若把英语单词 hello 字母写错了,则也许浮现错误共有 ( )

A 119 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种

解：

5 全排列 5*4*3*2*1=120

有两个 l 因此 120/2=60

本来有一种对的因此 60-1=59

4． 慢车车长 125 米， 车速每秒行 17 米， 快车车长 140 米， 车速每秒行 22 米， 慢车在前面行驶， 快车从背面追上来， 那么， 快车从追上慢车车尾到完全超过慢车需要多少时间？

答案为 53 秒

算式是（140+125)÷(22-17)=53 秒

可以这样理解： “快车从追上慢车车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上点追及慢车车头点， 因而追及路程应当为两个车长和。

5． 在 300 米长环形跑道上， 甲乙两个人同步同向并排起跑， 甲平均速度是每秒 5 米， 乙平均速度是每秒4.4 米， 两人起跑后第一次相遇在起跑线前几米？

答案为 100 米

300÷（5-4.4） ＝500 秒， 表达追及时间

5×500＝2500 米， 表达甲追到乙时所行路程

2500÷300＝8 圈……100 米， 表达甲追及总路程为 8 圈还多 100 米， 就是在本来起跑线前方 100 米处相遇。

6． 一种人在铁道边， 听见远处传来火车汽笛声后， 在通过 57 秒火车通过她前面， 已知火车鸣笛时离她 1360米， (轨道是直),声音每秒传 340 米， 求火车速度（得出保存整数）

答案为 22 米/秒

算式： 1360÷(1360÷340+57） ≈22 米/秒

核心理解： 人在听到声音后 57 秒才车到， 阐明人听到声音时车已经从发声音地方行出 1360÷340＝4 秒路程。 也就是 1360 米一共用了 4+57＝61 秒。

7． 猎犬发当前离它 10 米远前方有一只奔跑着野兔， 立即紧追上去， 猎犬步子大， 它跑 5 步路程， 兔子要跑 9 步， 但是兔子动作快， 猎犬跑 2 步时间， 兔子却能跑 3 步， 问猎犬至少跑多少米才干追上兔子。

对的答案是猎犬至少跑 60 米才干追上。

解：

由“猎犬跑 5 步路程， 兔子要跑 9 步”可知当猎犬每步 a 米， 则兔子每步 5/9 米。 由“猎犬跑 2 步时间， 兔子却能跑 3 步”可知同一时间， 猎犬跑 2a 米， 兔子可跑 5/9a*3＝5/3a 米。 从而可知猎犬与兔子速度比是 2a：

5/3a＝6： 5， 也就是说当猎犬跑 60 米时候， 兔子跑 50 米， 本来相差 10 米刚好追完

8． AB 两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间比是 4:5,如果甲乙二人分别同步从 AB 两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样， 乙到达 A 地比甲到达 B 地要晚多少分钟?

答案： 18 分钟

解： 设全程为 1,甲速度为 x 乙速度为 y

列式 40x+40y=1

x:y=5:4

得 x=1/72 y=1/90

走完全程甲需 72 分钟,乙需 90 分钟

故得解

9． 甲乙两车同步从 AB 两地相对开出。 第一次相遇后两车继续行驶， 各自到达对方出发点后及时返回。 第二次相遇时离 B 地距离是 AB 全程 1/5。 已知甲车在第一次相遇时行了 120 千米。 AB 两地相距多少千米？

答案是 300 千米。

解： 通过画线段图可知， 两个人第一次相遇时一共行了 1 个 AB 路程， 从开始到第二次相遇， 一共又行了3 个 AB 路程， 可以推算出甲、 乙各自共所行路程分别是第一次相遇前各自所走路程 3 倍。 即甲共走路程是 120*3＝360 千米， 从线段图可以看出， 甲一共走了全程（1+1/5）。

因而 360÷（1+1/5） ＝300 千米

从 A 地到 B 地， 甲、 乙两人骑自行车分别需要 4 小时、 6 小时， 当前甲乙分别 AB 两地同步出发相向而行，相遇时距 AB 两地中点 2 千米。 如果二人分别至 B 地， A 地后都及时折回。 第二次相遇点第一次相遇点之间有（） 千米

10． 一船以同样速度来回于两地之间， 它顺流需要 6 小时;逆流 8 小时。 如果水流速度是每小时 2 千米， 求两地间距离？

解： （1/6-1/8） ÷2＝1/48 表达水速分率

2÷1/48＝96 千米表达总路程

11． 快车和慢车同步从甲乙两地相对开出， 快车每小时行 33 千米， 相遇是已行了全程七分之四， 已知慢车行完全程需要 8 小时， 求甲乙两地路程。

解：

相遇是已行了全程七分之四表达甲乙速度比是 4： 3

时间比为 3： 4

因此快车行全程时间为 8/4*3＝6 小时

6*33＝198 千米

12． 小华从甲地到乙地,3 分之 1 骑车,3 分之 2 乘车;从乙地返回甲地,5 分之 3 骑车,5 分之 2 乘车,成果慢了半小时.已知,骑车每小时 12 千米,乘车每小时 30 千米,问:甲乙两地相距多少千米?

解：

把路程当作 1， 得届时间系数

去时时间系数： 1/3÷12+2/3÷30

返回时间系数： 3/5÷12+2/5÷30

两者之差： （3/5÷12+2/5÷30） -（1/3÷12+2/3÷30） =1/75 相称于 1/2 小时

去时时间： 1/2×（1/3÷12） ÷1/75 和 1/2×（2/3÷30） 1/75

路程： 12×〔1/2×（1/3÷12） ÷1/75〕 +30×〔1/2×（2/3÷30） 1/75〕 =37.5（千米）

八． 比例问题

1． 甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一种人祈求跟她们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表达感谢,过路人留下 10 元,甲、 乙怎么分？ 快快快

答案： 甲收 8 元， 乙收 2 元。

解：

“三人将五条鱼平分， 客人拿出 10 元”， 可以理解为五条鱼总价值为 30 元， 那么每条鱼价值 6 元。又由于“甲钓了三条”， 相称于甲吃之前已经出资 3*6＝18 元， “乙钓了两条”， 相称于乙吃之前已经出资 2*6＝12 元。

而甲乙两人吃了价值都是 10 元， 因此甲还可以收回 18-10＝8 元乙还可以收回 12-10＝2 元

刚好就是客人出钱。

2． 一种商品， 今年成本比去年增长了 10 分之 1， 但仍保持原售价， 因而， 每份利润下降了 5 分之 2， 那么， 今年这种商品成本占售价几分之几？

答案 22/25

把去年本来成本当作 20 份， 利润当作 5 份， 则今年成本提高 1/10， 就是 22 份， 利润下降了 2/5， 今年利润只有 3 份。 增长成本 2 份刚好是下降利润 2 份。 售价都是 25 份。

因此， 今年成本占售价 22/25。

3． 甲乙两车分别从 A.B 两地出发,相向而行,出发时,甲.乙速度比是 5:4,相遇后,甲速度减少 20%,乙速度增长20%,这样,当甲到达 B 地时,乙离 A 地尚有 10 千米,那么 A.B 两地相距多少千米?

解：

本来甲.乙速度比是 5:4

当前甲： 5×（1-20％） ＝4

当前乙： 4×（1+20％） 4.8

甲到 B 后， 乙离 A 尚有： 5-4.8＝0.2

总路程： 10÷0.2×（4+5） ＝450 千米

4． 一种圆柱底面周长减少 25%， 要使体积增长 1/3， 当前高和本来高度比是多少？

答案为 ： 27

解： 依照“周长减少 25％”， 可知周长是本来 3/4， 那么半径也是本来 3/4， 则面积是本来 9/16。

依照“体积增长 1/3”， 可知体积是本来 4/3。

体积÷底面积＝高

当前高是 4/3÷9/16＝/27， 也就是说当前高是本来高 /27

或者当前高： 本来高＝/27： 1＝： 27

5． 某市场运来香蕉、 苹果、 橘子和梨四种水果其中橘子、 苹果共 30 吨香蕉、 橘子和梨共 45 吨。 橘子正好占总数 13 分之 2。 一共运来水果多少吨？

第二题： 答案为 65 吨

橘子+苹果＝30 吨

香蕉+橘子+梨＝45 吨

因此橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75 吨

橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨） ＝2/13

阐明： 橘子是 2 份， 香蕉+苹果+橘子+梨是 13 份

橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是 2+13＝15 份