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n阶实对称矩阵的证明题

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n阶实对称矩阵A满足等式0=A^3-E,我们可以通过分解因式来探究A的性质。首先,观察等式0=A^3-E,可以将其写作A^3-E=(A-E)(A^2+A*E+E^2)的形式。进一步地,我们发现A^2+A*E+E^2可以被简化为A^2+A+E,因此等式变为0=(A-E)(A^2+A+E)。

根据多项式的因式分解定理,如果两个因式的乘积为0,那么至少有一个因式必须为0。因此,我们可以得到(A-E)=0或者(A^2+A+E)=0。从(A-E)=0,我们可以直接得到A=E。

进一步分析(A^2+A+E)=0的情况。由于A是实对称矩阵,其特征值为实数,因此(A^2+A+E)=0表明A^2+A+E的特征值为0。然而,A^2+A+E的特征多项式为x^2+x+1,其判别式为-3,小于0,这意味着A^2+A+E的特征值为共轭复数,这与A是实对称矩阵的性质矛盾。因此,(A^2+A+E)=0的情况在实数范围内不存在。

综上所述,唯一满足等式0=A^3-E的实对称矩阵A是A=E。这说明,当一个n阶实对称矩阵A的立方等于单位矩阵E时,A本身即为单位矩阵E。

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